12.4 Calculer une approximation de π

En fait, un résultat connu de théorie des nombres établit que la probabilité que deux entiers pris au hasard soient premiers entre eux est de ≈ 0,6079. Pour essayer de retrouver ce résultat, voilà ce que l’on va faire :

• Prendre deux nombres au hasard entre 0 et 1 000 000.
• Calculer leur pgcd
• Si leur pgcd vaut 1. Rajouter 1 à une variable compteur.
• Répéter l’expérience 1000 fois
• La fréquence des couples de nombres premiers entre eux s’obtiendra en divisant la variable compteur par 1000 (le nombre d’essais).

Note : De même que précédemment, On est obligé de mettre des parenthèses sur pgcd hasard 1000000 hasard 1000000, sinon l’interpréteur va chercher à évaluer 1 000 000 = 1. Pour éviter ce problème de parenthésage, écrire : si 1=pgcd hasard 1000000 hasard 1000000

On lance le programme test.

On obtient des valeurs proches de la valeur théorique de 0,6097. Ce qui est remarquable est que cette fréquence est une valeur approchée de .
Si je note f la fréquence trouvée, on a donc : f ≈
Donc π² ≈ et donc π ≈.
Je m’empresse de rajouter cette approximation dans mon programme, je transforme la fin de la procédure test :

Bon, je modifie mon programme de tel sorte que quand je le lance, je précise le nombre d’essais souhaités. J’ai dans l’idée d’essayer avec 10000 essais, voilà ce que j’obtiens sur mes trois premières tentatives :

Pas mal, non ?