\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\newcommand{\babtrois}{{\AKK\eshV}}
\newcommand{\babquatre}{{\AKK\shaII}}
\newcommand{\babcinq}{{\AKK\iaII}}
\newcommand{\babsix}{{\AKK\ashIII}}
\newcommand{\babsept}{{\AKK\imin}}
\newcommand{\babhuit}{{\AKK\ussu}}
\newcommand{\babneuf}{{\AKK\geshilimmu}}
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\entete{}{}{}%g,d,b
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\section{L'Égypte antique}
\subsection{Le système de numération de l'Égypte antique}

Les Égyptiens avaient très peu de signes (hiéroglyphes) pour compter ~:

\hun :~représente 1

\hdix :~représente 10

\hcent :~représente 100

\hmil :~représente 1000

\hdixmil :~représente 10000

\hcentmil :~représente 100000

\hmillion :~représente 1000000

\medskip

Leur système est dit «~additif~», comme les grecs et les romains~:~on «~additionne les signes~» pour
obtenir le nombre désiré. Par exemple, que représente~:
\begin{center}
 \hmil \hmil \hmil \hcent \hcent \hcent \hcent  \hcent \hcent \hcent \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix
 \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun\hun\hun\hun\hun\hun
\end{center}

Écrivez en égyptien~: 2008, 37612, 354.


\subsection{L'addition égyptienne}


Calculez :  \hcentmil \hcentmil \hcentmil \hcentmil  \hmil \hmil \hcent \hcent  \hcent \hcent \hcent
\hcent \hcent \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun + \hmillion \hmillion \hmillion \hcentmil \hcentmil \hdixmil \hdixmil \hmil \hmil \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun

puis lisez-le en français.

Inventez d'autres additions et faites-les calculer à votre voisin.


\subsection{La multiplication égyptienne}


Ce système n'est pas très pratique pour  multiplier les nombres. Les Égyptiens utilisaient une table
contenant une série de nombres : 

 \begin{center}
             \begin{tabular}{*{9}{|c}|}
	     \hline
             \hun & \hun \hun& \hun \hun \hun \hun & \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun & \hdix \hun \hun \hun \hun
             \hun \hun & \hdix \hdix \hdix \hun \hun & \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun
             \hun \hun & \hcent \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun & \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun \\
           %  \hcent \hcent \hcent \hcent \hcent \hdix \hun \hun & \hmil \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \\

             \hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Par exemple, pour multiplier 235 par 53, ils écrivaient :

\hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun = \hdix \hdix \hdix \hun \hun + \hdix \hun \hun \hun \hun
             \hun \hun + \hun \hun \hun \hun +\hun.

Ensuite ils dessinaient le tableau suivant : 

\begin{center}
             \begin{tabular}{*{3}{|c}|}
	     \hline
             \XSolidBrush & \hun & \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun\\
                   & \hun \hun & \hcent \hcent\hcent \hcent\hdix \hdix \hdix\hdix \hdix \hdix\hdix\\
              \XSolidBrush   &   \hun   \hun\hun   \hun&   \hcent   \hcent\hcent\hcent   \hcent\hcent\hcent
              \hcent\hcent\hdix \hdix \hdix\hdix\\
                   &  \hun \hun\hun  \hun\hun \hun\hun  \hun& \hmil  \hcent \hcent\hcent\hcent\hcent
                   \hcent\hcent\hcent \hdix \hdix \hdix\hdix\hdix \hdix \hdix\hdix\\
              \XSolidBrush & \hdix \hun \hun\hun\hun \hun\hun&\hmil\hmil\hmil \hcent \hcent\hcent\hcent\hcent
                   \hcent\hcent \hdix \hdix \hdix\hdix\hdix \hdix\\
              \XSolidBrush     &    \hdix\hdix\hdix     &     \hmil\hmil\hmil\hmil\hmil\hmil\hmil    \hcent
              \hcent\hcent\hcent\hcent\hdix\hdix\\

             \hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Ensuite, il  suffit d'additionner les cases  marquées d'un \XSolidBrush. Pouvez-vous  dire pourquoi ?
Posez d'autres multiplication à votre voisin.

Est-ce un moyen très efficace de multiplier ?



\subsection{La division égyptienne}

Observez la division posée de 65 par 5~:

\begin{center}
             \begin{tabular}{*{3}{|c}|}
	     \hline
              & \hdix \hdix\hdix \hdix\hdix \hdix \hun\hun\hun \hun\hun & \hun\hun\hun \hun\hun \\
              \hline
 \XSolidBrush & \hun & \hun\hun\hun \hun\hun \\
              & \hun \hun & \hdix \\
 \XSolidBrush & \hun \hun\hun \hun & \hdix\hdix\\
\XSolidBrush & \hun \hun\hun \hun\hun \hun\hun \hun & \hdix\hdix\hdix\hdix\\

\hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Expliquez la méthode et proposez des divisions à votre voisin (pas trop compliquées...).


\subsection{les fractions égyptiennes}

D'après la religion égyptienne, le dieu Horus (à tête de Faucon) se battit contre son oncle Seth. Au
cours du  combat, Seth arracha un  \oe il à Horus,  le coupa en six  et jeta les  morceaux à travers
l'Égypte. Le  dieu Toth (à tête  d'ibis) se chargea de  récupérer les morceaux et  de les rassembler
pour former le schéma suivant~:

\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{oeilhorus.eps}
\end{center}


Y a-t-il un problème~?

Les fractions avec dénominateur 64 étaient utilisées pour mesurer les volumes.

Les Égyptiens utilisaient d'autres fractions, mais toujours  avec un numérateur égal à 1 en écrivant
les dénominateurs sous une sorte d'\oe il.

\medskip

Tout ça est un peu compliqué...

\section{Babylone}

\subsection{La numération babylonienne}

Tout à côté de l'Égypte, à la même époque à Babylone, apparut un autre système de numération. La
forme d'abord était différente car les Babyloniens utilisaient des tablettes et des poinçons au lieu
de papyrus et de pinceaux. Il y avait principalement deux caractères~:~\babun et \babdix.

Pour compter jusqu'à 59, le système fonctionne comme en  Égypte et plus tard en Grèce et à Rome : on
ajoute la valeurs  des signes écrits. Ainsi \babdix\babdeux correspond  à 12, \babquarante\babhuit à
48.

Lisez les nombres suivants~:~\babtrente\babhuit ; \babcinquante\babtrois ; \babvingt\babneuf.

Proposez d'autres exemples à vos voisins.



\medskip

À partir  de 60, la  numération ressemble  plus à la  nôtre car elle  devient «~positionnelle~»~:~en
effet, la valeur d'un signe dépend de sa position par rapport aux autres.

Ainsi, 63 s'écrit \babun \ \babtrois, c'est-à-dire 1 fois 60 plus 3 fois 1.

De même, \babtrois \ \babvingt\babtrois correspond à $3\times60+23=203$

Enfin \babdeux\ \babdix\babneuf  \ \babtrente\babcinq correspond à 2  soixantaines de soixantaines +
19 soixantaines +35, c'est-à-dire~?

\medskip 

Proposez d'autres nombres à vos voisins. 


\medskip


Que pensez-vous de cette opération~: \babdix\babcinq + \babquarante\babcinq = \babun ~?

Et de celle-ci~: \babdeux $\times$ \babun\babtrente $=$ \babtrois~ ?

Est-ce que ça ne vous rappelle pas quelque chose~?


\subsection{Multiplication et division babyloniennes}

Nous n'explorerons pas ces opérations car elles  sont un peu compliquées à comprendre en CM2. Sachez
tout de même que les petits Babyloniens devaient apprendre beaucoup de tables de multiplications qui
ressemblaient à ça~:

\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{tablebab1.eps}
\end{center}

et avaient des sortes de bouliers à leur disposition. 


Voici un «~cahier~» d'écolier~:~de quelle table s'agit-il~?

\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{tablebab2.eps}
\end{center}




\section{Les Mayas}

\subsection{Numération}

Les Mayas ont vécu en Amérique centrale depuis  la nuit des temps jusqu'à la conquête espagnole. Ils
ont été parmi les premiers  (si ce n'est les premiers) à utiliser un zéro  à partir du IV\eme siècle
après JC, 1100 ans avant les Européens~! Leur système de numération était totalement «~positionnel~»
est ressemble  donc au  nôtre mais  leur nombre de  «~base~» était  vingt au lieu  de dix  pour nous
(peut-être parce qu'ils n'avaient pas oublié leurs dix doigts de pied...).

Essayez  de décrire  leur  système de  numération sachant  que~:  6 s'écrit  $\maya{6}$, 13  s'écrit
$\maya{13}$, 24  s'écrit $\maya{24}$,  30 s'écrit $\maya{30}$,  65 s'écrit $\maya{65}$,  232 s'écrit
$\maya{232}$, 400 s'écrit $\maya{400}$, 512 s'écrit $\maya{512}$, 8600 s'écrit $\maya{8600}$.

Proposez des nombres à écrire à vos voisins.


\subsection{Parlons yucatèque}

 \begin{center}
             \begin{tabular}{*{5}{|c}|}
	     \hline
  Hun~:  $\maya{1}$&

  Ca~:   $\maya{2}$&

  Ox~:   $\maya{3}$&

  Can~:  $\maya{4}$&

  Ho~:  $\maya{5}$\\

  Uac~:  $\maya{6}$&


  Uuc~:  $\maya{7}$&

  Uaxac~:  $\maya{8}$&

  Bolon~:  $\maya{9}$&

  Lahun~:  $\maya{10}$\\

  Buluc~:  $\maya{11}$&

  Lahca~:  $\maya{12}$&

  Oxlahun~:  $\maya{13}$&

  Canlahun~:  $\maya{14}$&

  Holhun~:  $\maya{15}$\\

  Uaclahun~:  $\maya{16}$&

  Uuclahun~:  $\maya{17}$&

  Uaxaclahun~:  $\maya{18}$&

  Bolonlahun~:  $\maya{19}$&

       

  Hunkal~:  $\maya{20}$\\

  Huntukal~:  $\maya{21}$&

  Catukal~:  $\maya{22}$&

  Oxtukal~:  $\maya{23}$&

  Cantukal~:  $\maya{24}$&

  Hotukal~:  $\maya{25}$\\

  Cakal~:  $\maya{40}$&

  Huntuyoxkal~:  $\maya{41}$&

  Catuyoxkal~:  $\maya{42}$&

  Oxtuyoxkal~:  $\maya{43}$&

  Cantuyoxkal~:  $\maya{44}$\\

  Hotuyoxkal~:  $\maya{45}$&

  
       
  Oxkal~:  $\maya{60}$&

  Huntucankal~:  $\maya{61}$&

  Catucankal~:  $\maya{62}$&

  Oxtucankal~:  $\maya{63}$\\

  Cantucankal~:  $\maya{64}$&

  Hotucankal~:  $\maya{65}$&


 
  Cankal~:  $\maya{80}$&

  Hutuyokal~:  $\maya{81}$&

  Catuyokal~:  $\maya{82}$\\

  Oxtuyokal~:  $\maya{83}$&

  Cantuyokal~:  $\maya{84}$&

  Hotuyokal~:  $\maya{85}$&
 
  Hokal~:  $\maya{100}$&

  Huntu uackal~: $\maya{101}$\\

\hline

   \end{tabular}
             \end{center}


\subsection{La «~cinquième opération~»}

Regardant commant  s'écrit 35 : \emph{  holhucakal} qui se  décompose en ho.lahun ti+u-ca-KAL  et se
traduit mot pour mot par : «~15 vers 2\eme vingt~».

 Ces formes font apparaître la spécificité des numérations mayas parlées précolombiennes, à savoir que les Mayas disposaient d'une opération que nous ne connaissons pas dans notre arithmétique. Une opération qui donne le résultat 35 quand on la fait porter sur les arguments 15 et 40 (ca-KAL est aussi le nom de quarante).


Appelons-la «~mayation~»~:~que  donne la  mayation de  $\maya{5}$ et $\maya{60}$~?  de $\maya{16}$  et $\maya{120}$~?  Proposez d'autres
opérations à vos voisins.


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