\chapterimage{magritte}
\chaptertext{Qu'allons-nous faire cette année?}

\chapter{Infor-MATH-ique}

\section{Ce module}

Oubliez tout ce que vous avez fait jusqu'à maintenant! Notamment dans votre manière de travailler...

Le poly  que vous avez entre  les mains n'est pas  un résumé de cours  à lire la
veille d'un DS. Les exercices ne sont  pas des séries de questions auxquelles on
répond par oui ou non en pensant à autre chose!

AVANT LES AMPHIS, vous pourrez lire le poly pour bien suivre la séance, préparer
des questions.  Pendant l'amphi,  d'autres notions  pourront être  abordées, des
points pourront être développés selon vos questions: il faut être actif. Le poly
est bavard, fait des digressions: c'est UN  support mais pas LE support qui sera
celui que vous fabriquerez vous-même.

AVANT LES TD, il faudra avoir étudié l'amphi et les TD précédents. Les exercices
proposés ne sont  pas fermés: ils peuvent  évoluer pendant la séance,  au gré de
vos propositions,  questions. Beaucoup de choses  seront dites par vous  ou moi:
ces séances sont autant du cours que les amphis.

Il faudra régulièrement compléter une petite FICHE DE SYNTHÈSE dont vous pourrez
disposer pendant les évaluations (ainsi que le poly).

Concernant l'ÉVALUATION: le contrôle est continu. Seront évalués:

\begin{itemize}
\item votre investissement en classe, vos propositions, vos questions;
\item  des travaux  effectués  en  dehors des  cours:  mini-projet, exercice  de
  recherche;
\item  des petits  tests  rapides (1/4  d'heure) en  amphi  sans être  forcément
  prévenus;
\item des évaluations en TD, prévues ou non;
\item Un ou deux devoirs plus longs en amphi et prévus à l'avance.
\end{itemize}



\section{La faiblesse de la force brute}

Vous  voulez  organiser  un  tournoi de  sumo  à  l'\textsc{Iut}  pour
financer votre sortie de fin d'année à Klow.

Imaginons que  vous soyez  16 participants et  qu'à l'issue  de chaque
combat  un(e) étudiant(e)  est  qualifié(e) pour  le  tour suivant  et
l'autre  éliminé(e).  Tous  les participant(e)s  doivent combattre  au
moins une fois. À la
fin, bien sûr, il y aura un(e) unique gagnant(e).

\textit{Combien de combats vont avoir lieu?}

Bon, 16  participants donc 8 combats.  Ensuite il ne reste  plus que 8
étudiant(e)s. Ça fait  4 nouveaux combats. Puis 2
combats puis un combat.
Je sors ma calculatrice: $ 8 + 4 + 2 + 1 = 15$  combats.

Facile. En  plus, on a  quand même  choisi 16 participant(e)s  donc ça
facilite les choses: on peut diviser par 2 encore et encore.

Ça peut se compliquer si on part de 7 participants par exemple.
Au  premier tour,  un(e) étudiant(e)  devra  rester sur  le banc  puis
combattre ensuite un(e) des vainqueur(e)s.
On y arrive quand même: 3 combats  et un(e) sur le banc. Ça fait 3
qualifié(e)s + 1 donc 2 combats puis finalement un dernier combat.
Je sors encore ma calculatrice: $ 3 + 2 + 1 = 6 $

Je    vous    laisse    voir    ce   que    ça    donne    pour    555
étudiants...(\textit{pause de cinq minutes}). Ça y est?

Oui effectivement, c'est bien ça: 554 combats.

Tiens,  tiens...16  étudiant(e)s →  15  combats,  7 étudiant(e)s  →  6
combats, 555 étudiant(e)s → 554 combats. Ah ah...

Ben c'est bizarre: il y a un combat de moins que de participant(e)s.
Je  me suis  trompé  dans  mes calculs?  Je  recommence  (je fais  des
tests...).  Toujours  pareil. Je  fais  d'autres  tests avec  d'autres
valeurs....pareil.


\begin{info}
Un peu de jargon informatique.

\begin{quote}
  {\itshape \textbf{Brute force} /adj./ 

Describes a primitive  programming style, one in  which the programmer
relies on the computer's processing power  instead of using his or her
own intelligence to  simplify the problem, often  ignoring problems of
scale and applying naive methods  suited to small problems directly to
large ones.

Ken Thompson,  co-inventor of  Unix, is reported  to have  uttered the
epigram "When in doubt, use brute force". 
}
\begin{flushright}{\small
  in \og The New Hacker's Dictionnary\fg{}\\
\href{http://outpost9.com/reference/jargon/jargon\_17.html\#TAG214}{http://outpost9.com/reference/jargon/jargon\_17.html\#TAG214}}
\end{flushright}


\end{quote}


Nous venons donc d'utiliser la force  brute pour calculer le nombre de
combats. Y aurait-il un autre moyen?




\begin{quote}
  {\itshape 
Testing shows the presence, not the absence of bugs.}
\begin{flushright}
{\small
Edsger W.\textit{ Dijkstra} (1969) in J.N. Buxton and B. Randell, eds, Software Engineering Techniques, April 1970, p. 16. Report on a conference sponsored by the NATO Science Committee, Rome, Italy, 27–31 October 1969.
}
\end{flushright}


\end{quote}

Vous   allez  bientôt   étudier   une  branche   très  importante   de
l'informatique: les tests.

Cependant,  souvenez-vous de  l'adage  de  \textsc{Disjkstra} (un  des
plus célèbres informaticiens au  monde, pris \textsc{Turing} 1972): ce
n'est  pas parce  que  ça marche  trois fois  que  ça marche  toujours
(cette   remarque  doit   particulièrement  attirer   l'attention  des
utilisateurs de windows).

\end{info}

Vous l'avez  compris, si  nous pouvons trouver  un moyen  plus simple,
rapide  et surtout  si  nous pouvons  comprendre \textit{pourquoi}  ça
marche, cela nous permettra de programmer plus sûrement.

\smallskip

Il  suffit  de considérer  le  problème  \textit{autrement}. À  chaque
combat correspond  un(e) étudiant(e) éliminé(e).  Nous  dirons bientôt
que  l'ensemble  (fini) des  combats  et  l'ensemble des  étudiant(e)s
éliminé(e)s sont en \textit{bijection}.

Le nombre  de combats  est donc  le même  que le  nombre d'étudiant(e)s
éliminé(e)s. Or  il n'y a  qu'un(e) seul(e) étudiant(e) qui  n'est pas
éliminé(e) à la  fin. Ceci \textit{démontre} qu'il y  aura toujours un
combat de  moins que  le nombre  d'étudiant(e)s, et  ceci \textit{sans
  aucun  calcul},   sans  dérivée,   sans  intégrale,   sans  identité
remarquable...





\section{\og J'ai toujours été nul (ou bon) en maths \fg}

Comment  pouvez-vous  le  savoir? Pensez-vous  vraiment  que  calculer
(bien ou mal)
dix-mille dérivées, factoriser mille polynômes, ânonner ses identités remarquables ou le
théorème de Pythagore, cela fait de vous un(e) mathématicien(ne)?

Et si vous n'aviez encore jamais fait de mathématiques?


\begin{quote}
  {\itshape
\textbf{ Knuth} /knooth'/ /n./

[Donald E. Knuth's "The Art  of Computer Programming"] Mythically, the
reference  that  answers  all   questions  about  data  structures  or
algorithms. A safe answer when you do  not know: "I think you can find
that in Knuth."  Contrast literature, the. See also bible.  There is a
Donald Knuth home page at http://www-cs-faculty.Stanford.EDU/~knuth.  
}
\end{quote}
\begin{flushright}{\small
  in \og The New Hacker's Dictionnary\fg{}\\
\href{http://outpost9.com/reference/jargon/jargon\_26.html\#TAG1004}{http://outpost9.com/reference/jargon/jargon\_26.html\#TAG1004}}
\end{flushright}

La \og  Bible\fg{} du programmeur  s'intitule \og The Art  of Computer
Programming\fg{}\footnote{Mais comme la Bible,
  quelques  informaticiens ont  ce livre  dans leur  bibliothèque mais
  très peu en ont lu plus que la  couverture.}.

La programmation  tout comme  les mathématiques  (tout au  moins quand
vous programmerez dans les  modules estampillés \og mathématiques\fg{}
à l'\textsc{Iut} ;-) )
doivent être dans votre esprit un Art  et vous devez vous considérer à la
fois comme un(e)  scientifique et un(e) artiste: il  faut faire preuve
de curiosité, d'imagination, de liberté, essayer, se tromper, recommencer, faire
preuve d'originalité,  trouver son  style, savoir apprécier  la beauté
d'un programme (ou  d'une démonstration, c'est la  même chose). Chacun
peut  avoir des  goûts différents,  aura besoin  de partager  avec ses
camarades, discuter de ses conjectures.

Il faudra  copier quelques \oe  uvres maîtresses, bien sûr,  en allant
par exemple  voir le  code source  d'un beau  langage que  nous allons
étudier, mais il faudra aussi créer vos propres \oe uvres, modestes au
départ, mais c'est en créant que vous progresserez.

Un  peintre est  couvert de  peinture, un  mathématicien de  craie, un
informaticien  de  pizza et  de  bière  mais  c'est le  quotidien  des
artistes.


En fait, jusqu'à maintenant, on a essayé en cours de faire de vous de (mauvais)
ordinateurs. Il n'est certes pas  négligeable de savoir calculer comme
le précise Alain
\textsc{Connes},  membre  de  l'Académie  des  sciences,  Professeur  au
Collège  de France,  à l'I.H.E.S.  et à  l'Université de  Vanderbilt aux
États-Unis qui a de plus reçu la Médaille Fields en 1982, le
Prix Crafoord en 2001 et la Médaille d'or du C.N.R.S. en 2004.


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\linewidth]{connes}
\end{center}
%\end{figure}

\begin{quote}
{\itshape
  Quand on effectue  un long calcul algébrique, la  durée nécessaire est
  souvent  très   propice  à  l'élaboration   dans  le  cerveau   de  la
  représentation   mentale  des   concepts   utilisés.  C'est   pourquoi
  l'ordinateur, qui donne  le résultat d'un tel calcul  en supprimant la
  durée, n'est pas nécessairement un  progrès. On croit gagner du temps,
  mais le résultat brut d'un calcul sans la représentation mentale de sa
  signification n'est pas un progrès.

  \begin{flushright}
Alain \textsc{Connes} - Sciences et imaginaire
\end{flushright}
}
\end{quote}


mais bon...Il est  parfois bon de se  mettre à la place  de la machine
pour mieux la faire fonctionner mais il est également utile de prendre
de la  distance, de  voir le  problème sous  différents angles...comme
un(e) mathématicien(ne).



\section{L'art abstrait}

Voici un extrait du Petit Larousse:

\begin{quote}
\textbf{ABSTRACTION} n. f. (bas latin \textit{abstractio})

Opération intellectuelle qui consiste à  isoler par la pensée l'un des
caractères  de quelque  chose et  à le  considérer indépendamment  des
autres caractères de l'objet. 


Ne pas confondre faire abstraction et abstraire.

    \textit{Faire abstraction de} = ne pas faire entrer en ligne de compte dans
    un calcul, un raisonnement. Faire abstraction des inconvénients. 
    
    \textit{Abstraire} = isoler par la pensée pour considérer à part. Abstraire
    un événement de son contexte. 
  
  
\end{quote}


Alors c'est quoi  être mathématicien(ne)?! Personne ne  pourra vous le
dire, pas même les mathématicien(ne)s!

Disons  cependant  qu'un(e)  mathématicien(ne)  a  plutôt  tendance  à
rechercher n'importe  où des structures,  des motifs et à  trouver des
ressemblances là  où on ne  les voit pas du  premier coup d'\oe  il, à
\textit{abstraire}   des    objets   pour   mieux   les    mettre   en
\textit{correspondance}.  En introduction,  nous  avons  ainsi mis  en
correspondance les combats et les perdants: les mathématicien(ne)s ont
naturellement  tendance à  \og plonger\fg{}  des objets  dans d'autres
environnements pour mieux les manipuler. Ces capacités ont été, et sont
d'ailleurs de plus en plus développées en informatique.

Nous  allons très  vite  nous  en rendre  compte  en programmant  avec
Haskell.

En mathématiques, on a également  tendance a être très ouvert d'esprit
et à relativiser beaucoup de choses. C'est un domaine qui a énormément évolué au
cours de  l'histoire, et  surtout depuis un  siècle: vous  avez appris
trois ou quatre  théorèmes au lycée? On en publie  actuellement 30 000
par an! Les théorèmes, une fois démontrés sont vrais mais souvent dans
un domaine très réduit qui correspondait à l'univers de l'époque. Pour
prendre un  exemple simple, vous avez  appris que la somme  des angles
d'un triangle fait  180\textdegree mais c'est faut si  le triangle est
tracé sur la Terre, sur un arbre...

En fait, les ronds peuvent être carrés, on peut calculer le logarithme
d'un nombre négatif, une tasse de café peut être égale à un beignet, $
2+2$ peut être  égal à 5: cela  dépend du contexte. Il  faut être très
ouvert d'esprit, combattre les fausses certitudes. 

\begin{quote}
\og In  summary, I would like  to convey a little  positive message to
you...I do not have any...Would two negative messages suit you?  
  \fg{}

\begin{flushright}
  Woody \textsc{Allen}
\end{flushright}
\end{quote}

J'aurais tendance à  dire que les mathématiques sont  partout: dans le
CSS, dans Haskell, dans les registres de la mémoire, dans les bases de
données,   dans   les   sorties  graphiques,   le   son,   l'interface
homme-machine,  la   spécification,  les  tests,  la   conception  des
langages, l'intelligence artificielle...






\section{Insecticide}

EN mathématiques,  on prend  l'habitude de  relativiser mais  aussi de
chercher  le petit  grain de  sable qui  pourrait faire  capoter notre
théorie...le petit bug qui empèche notre programme de fonctionner.


Allez,  je  vous l'accorde,  \textbf{parfois}  les  mathématiques traitent  des
calculs. Voici une petite anecdote croustillante.

La Marine US
s'équipe de PC montés  avec...Windows NT 4.0 et en profite  pour réduire le 10\%
le nombre de marins  à bord du USS Yorktown. Mais, comme le  dira un des experts
civils après la panne:
\og
{\itshape 
Using Windows NT, which is known to have some failure modes, on a warship is
similar to hoping that luck will be in our favor
}
\fg{}

Que s'est-il passé le 21 septembre 1997?  Un opérateur a tapé par erreur un zéro sur son clavier et
tout le navire a été bloqué en pleine mer :-)

\og{\itshape
  Your \$2.95 calculator, for example, gives you a zero when you
try to divide a number by zero, and does not stop executing the next set of instructions.
It seems that the computers on the Yorktown were not designed to tolerate such a simple
failure.
}\fg{}

On espère que les missiles atomiques sont mieux programmés...

Un(e) mathématicien(ne) est  \textbf{parfois} cette personne maniaco-dépressive
qui  ne va  pas  vous croire  sur  parole mais  va  vérifier si  votre
programme n'a  pas négligé  un cas important  qui ferait  capoter tout
votre travail.


C'est aussi  une personne habituée  à communiquer, échanger  ses idées
avec ses pairs  via un tableau et  une craie, à tenter  d'être le plus
clair possible (si  si!). C'est pourquoi on cherchera à  concevoir et même
présenter son code de la manière la plus concise, limpide possible.

On ne négligera pas les exceptions  et les cas pathologiques. Un drame
informatique récent doit vous y faire penser.

Le  1\er juin 2009, le vol Air  France 447 finit tragiquement:
les 228 personnes à bord meurent englouties au large des côtes du Brésil.

Beaucoup de bruit  a été fait autour  de cet accident, beaucoup de  gens ont été
blâmés, en particulier les copilotes.

Voici le  problème: pour économiser  du carburant, les avions  volent maintenant
très haut et en  limite de décrochage. Il faut un  guidage informatique très fin
pour le  permettre. Ce soir-là,  l'avion est pris dans  une tempête et  le froid
extrême obstrue les capteurs qui ne peuvent plus mesurer la vitesse du vent.

Le  pilote  automatique envoie  alors  comme  message  à ses  collègues  humains
des messages trop vagues:

\textit{Les messages de panne successivement affichés sur l’ECAM n’ont pas permis à
l’équipage de faire un diagnostic rapide et efficace de la situation dans laquelle
l’avion se trouvait, en particulier de l’obstruction des sondes Pitot. Il n’a jamais été
en mesure de faire le lien entre les messages qui sont apparus et la procédure à
appliquer, alors que la lecture de l’ECAM et des messages doit faciliter l’analyse de
la situation et permettre d’organiser le traitement des pannes. Plusieurs systèmes
avaient  pourtant identifié  l’origine du  problème  mais n’ont  généré que  des
messages} (extrait du  rapport final du Bureau d'Enquêtes et  d'Analyses pour la
sécurité de l'aviation civile).

Donner les conséquences et pas les causes! Sans
indications, les pilotes perdent de  précieuses secondes et ne peuvent effectuer
la man\oe uvre habituelle permettant de contrer un décrochage.

\smallskip

Nous allons bientôt nous initier à un langage très important qui, nous
allons voir, évite un nombre  important d'erreurs car il est structuré
algébriquement pour son bien ou plutôt pour celui des usagers.

\section{Langage}

En devenant  informaticien(ne), votre travail va  consister à résoudre
des  problèmes   en  créant   de  nouveaux   mondes,  tout   comme  en
mathématiques: votre client vous posera un problème qu'il voudrait que
vous résolviez  pour lui.  Il s'exprimera le  plus souvent  en langage
naturel, et  il faudra passer  à un  langage beaucoup plus  concret et
limité,  celui  de  la  machine.  Le  langage  mathématique  se  situe
exactement au milieu de ces deux  niveaux et vous permettra de glisser
du langage naturel avec toutes  ses ambiguïtés, ses sous-entendus, ses
abstractions vers le langage beaucoup plus limité de votre ordinateur.



\section{...les maths c'est quand même un peu dur}

Bon, il faut l'avouer, même si on va normalement voir les maths
totalement différemment,  ça reste une aventure.  Voici le témoignage
d'Andrew  \textsc{Wiles}, le  mathématicien  britannique  qui a  enfin
réussi à  démontrer le grand  théorème de \textsc{Fermat}  après trois
siècles d'efforts de toute la  communauté mathématique. Il nous décrit
par une analogie son travail en mathématique:

\begin{quote}
  {\itshape
You enter the first room of  the mansion and it’s completely dark. You
stumble  around bumping  into the  furniture but  gradually you  learn
where each piece of furniture is. Finally, after six months or so, you
find  the  light  switch,  you  turn it  on,  and  suddenly  it’s  all
illuminated. You  can see exactly where  you were. Then you  move into
the next  room and spend  another six months in  the dark. So  each of
these breakthroughs, while sometimes they’re momentary, sometimes over
a period of  a day or two,  they are the culmination  of, and couldn’t
exist without,  the many months of  stumbling around in the  dark that
precede them. 
}
\end{quote}

Et  oui, ne  vous inquiétez  pas, vous  verrez la  lumière au  bout du
tunnel...




\vfill

\eject



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\modeexercice
\section{RECHERCHES}



\begin{exercice}[Calcul sans calculs]
  Tracez un rectangle quelconque. Placez un point M n'importe où sur un
  côté et reliez-le aux extrémités C et D du côté opposé. Vous obtenez un
  magnifique  triangle MCD.  Calculez le  rapport entre  l'aire de  ce
  triangle  et  l'aire  du   rectangle...sans  aucun  calcul  mais  en
  utilisant   seulement  votre   puissant   cerveau  jusqu'à   présent
  sous-exploité.
\end{exercice}

\begin{exercice}[Test de QI (ou JDC)]
  Voici une suite de nombres: 0 1 2 3 4 5.
  
  En utilisant   seulement  votre   puissant   cerveau  jusqu'à présent
  sous-exploité, déterminez quel est le nombre qui suit 5.

\end{exercice}



\begin{exercice}[Ah...les dérivées]

Vous êtes d'accord avec ça:

\begin{eqnarray*}
1^2 &=& 1\\
2^2 &=& 2 + 2\\
3^2 &=& 3 + 3 + 3\\
&&\vdots\\
x^2 &=& \underbrace{x + x + \cdots + x}_{x \ {\rm termes}}
\end{eqnarray*}

C'est vrai pour n'importe quel entier $ x$.

Bon, je dérive la dernière égalité. J'obtiens:

$$
2x=\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{x \ {\rm termes}}=x
 $$

Comme c'est vrai pour n'importe quel entier $ x$, je peux prendre $ x=1$:

$$
2=1
 $$

ou $ x=7$:

$$14=7 $$

\end{exercice}



\begin{exercice}[Ah...les identités remarquables]
  

\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{MadHatter}
\end{center}


\textit{<<~Reprenez donc un peu de thé~>> propose le Lièvre de Mars.}

\textit{<<~Je n'ai rien pris du tout, je ne saurai donc reprendre de rien~!~>>}

\textit{<<~Vous voulez dire que vous ne sauriez reprendre de quelque chose~>> répartit le Chapelier.\\
 <<~Quand il n'y a rien, ce n'est pas
facile d'en reprendre~>>.}

\sm

 \begin{itemize}

 \item Alors comme ça, vous êtes étudiante?
 \item Oui, en informatique par exemple.
 \item Alors que vaut cette fraction : un sur deux sur trois sur quatre?
 \item Eh bien ...
 \item Elle vaut deux tiers, la devança le Loir.
 \item Ou trois huitièmes si vous préférez, ajouta le Lièvre de Mars.
 \item Ou encore un sur vingt-quatre, affirma le Chapelier.
 \item En fait, je crois que...
\item Aucune importance! Dîtes-nous plutôt combien vous voulez de sucre dans votre thé?
\item Deux ou trois, ça dépend de la taille de la tasse.
\item Certainement pas, car de toute façon, deux ou trois c'est pareil.
\item Parfaitement~! approuva le Loir en fixant Alice qui écarquillait les yeux.
\item Ce n'est pourtant pas ce qu'on m'a appris, fit celle-ci.
\item Pourtant, ce n'est pas compliqué à comprendre, en voici une démonstration des plus élémentaires\\
                On sait que pour tout entier $n$ on a successivement
                $$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
                $$(n+1)^2-2n-1=n^2$$
                Retranchons $n(2n+1)$ des deux côtés
                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)=n^2-n(2n+1)$$
                Mézalor, en ajoutant $(2n+1)^2/4$, on obtient

                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}=
                     n^2-n(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}$$
                Soit
                $$\pa{(n+1)-\fr{2n+1}{2}}^2=\pa{n-\fr{2n+1}{2}}^2$$
En passant à la racine carrée, on obtient
$$(n+1)-\fr{2n+1}{2}=n-\fr{2n+1}{2}$$
d'où
$$n+1=n$$
Et si je prends $n=2$, j'ai aussitôt $3=2$
\item Alors, qu'est-ce que vous en dites~?
\item Je...commença Alice.
\item D'ailleurs, cela prouve que tous les entiers sont égaux, la coupa le Lièvre de Mars.
\item Pas mal du tout! Qu'en dites-vous mademoiselle l'informaticienne?
\item Je vais vous dire tout de suite ce que j'en pense.
\item Ah non! Nous préférerions de loin que vous pensiez ce que vous allez nous dire.
\item C'est pareil! grinça Alice qui commençait à en avoir assez.
\item Comment  ça, c'est  pareil~? Dire  ce que  l'on pense  ce serait
  pareil que penser ce que l'on dit? S'étrangla le Lièvre de Mars. 
\item Incroyable ! Et manger ce qu'on voit ce serait pareil que voir ce qu'on mange?
\item Mais...
\item Et respirer quand on dort pareil que dormir quand on respire?
\item En logique, nous vous mettons 3 sur 5.
\item Autant dire moins que un.
\item C'est à dire zéro, puisque si 2=3 alors 1=0.
\item Parce que chez vous, 3 c'est moins que 1? s'indigna Alice.
\item On se demande ce qu'on vous apprend à l'école!%  Bien sûr que oui! Tenez, considérez
% $$f(x)=\fr{x^2+32}{2x^2+1}+\fr{|x|+1}{2x+51}$$
% Eh bien il  est facile de voir  que cette fonction a pour  limite 0 en
% moins l'infini et 1 en plus l'infini. 
% \item Je ne dis pas le contraire, protesta Alice.
% \item  Donc l'image  par $f$  de $\bbr$  est l'intervalle  $]0,1[$, or
%   $f(0)=3$, donc 3 appartient à $]0,1[$ à ce titre : on a bien 3 plus 
% petit que 1. 
Tiens, et  je peux  même vous donner  une démonstartion  beaucoup plus
simple.

Prenez deux nombres non nuls et égaux:
$$ a=b$$ 

Alors

$$a^2=ab $$

et

$$ a^2-b^2=ab-b^2$$

Un peu d'identité remarquable:

$$
(a+b)(a-b)=b(a-b)
 $$

Je simplifie:

$$ a+b = b$$

Mais comme $ a=b$:

$$ 2b=b$$

et je simplifie:

$$2=1 $$




\item C'est de la folie pure, pensa Alice...
\end{itemize}

\emph{Merci à Pierre Osadtchy}
\end{exercice}




\begin{exercice}[Ah...les limites]

$$
\lim_{n\to+∞}\frac{sin \  x}{n}=0   →   \lim_{n\to+∞}\frac{si\cancel{n}
  x}{\cancel{n}}=0 → \lim_{n→∞} six = 0 → 6 = 0
 $$
  
\end{exercice}




\begin{exercice}[C'est logique]



\begin{flushright}
  \begin{quote}
    {\itshape
% \textbf{Kirk}: I suppose you're about to remind me that logic alone dictates your actions?

% \textbf{Spock}: I would not remind you of that which you know so well. 


\textbf{Dr. McCoy}: Mr. Spock, remind me to tell you that I'm sick and tired of your logic.

\textbf{Spock}: That is a most illogical attitude.

}

  \end{quote}

in \og Star Trek: The Galileo Seven \fg{} (1967)
\end{flushright}


  
Voici un petit test proposé\footnote{Cité  dans la note de synthèse de
  l'habilitation  à   diriger  des  recherches  soutenue   par  Viviane
  \textsc{Durand-Guerrier}        le        16        juin        2005
  \href{http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/16/26/PDF/hdrvdg.pdf}{http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/16/26/PDF/hdrvdg.pdf}
  page 47.}
il y a quelques années à des étudiants
entrant à l'Université et à des professeurs de mathématique:

\begin{quote}
{\itshape Soit un  entier naturel $n$ inférieur à 20.  On considère la
  proposition  \og  si   $n$  est  pair,  alors   son  successeur  est
  premier\fg{}. Quels sont les entiers qui rendent cette proposition vraie?}
\end{quote}


Ne lisez pas  ce qui suit et répondez  tout de suite\footnote{Personne
  ne sera au courant de votre réponse, alors n'ayez pas peur...}.

\medskip

Ça y est? Bon, analysons  les réponses possibles. Notons $E=\llbracket
0,20\rrbracket$. Vous avez répondu...

\begin{itemize}
\item ... \og 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19\fg{}: vous
  avez triché ou bien vous avez eu un bon cours de logique au lycée et
  vous l'avez bien étudié. La lecture des paragraphes suivants va vous
  permettre d'aller plus loin;
\item ... \og  2, 4, 6, 10,  12, 16, 18\fg{}: c'est  bien, vous n'avez
  pas triché  mais malheureusement ce  n'est pas la bonne  réponse. La
  lecture  des   paragraphes  suivants   devrait  vous   permettre  de
  progresser en logique pour affronter  sereinement vos deux années d'\textsc{Iut}.
\item ...\og tous\fg{}: vous avez eu raison  de ne pas sortir le jeudi soir pour
  travailler et vous remettre à niveau.  La
  lecture  des   paragraphes  suivants   devrait  vous   permettre  de
  découvrir la  logique, l'arithmétique et la  mathématique en général
  pour affronter sereinement vos deux années d'\textsc{Iut}.

\end{itemize}


\end{exercice}




\begin{exercice}
  
  Les images  des entiers naturels  par la fonction  $p~:~n\mapsto n^2-n+41$
  sont des nombres premiers.
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Vous êtes sur la Terre que  l'on va considérer comme sphérique. Vous
  êtes sur l'équateur. Vous avez un feutre et une équerre: vous tracez
  un  angle  droit  avec  l'équateur  et vous  allez  \og  tout  droit
  \fg{}. Pensez à notre histoire de somme des angles d'un triangle.
\end{exercice}



\modenormal
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyMD1_14"
%%% End: 
