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\Enc{Les suites}{0.9white}{2} % titre,couleur,taille h


\section{Définition}

Pour faire court, on pourrait se contenter de dire 

\index{limite!de suite |(}



\begin{Defi}[Suite numérique]

  Une suite numérique réelle est une fonction de $\bbn$ vers $\bbr$
\end{Defi}


Mais développons un peu.  Considérons par exemple la suite définie par\footnote{On dit aussi de terme général $u_n=\sqrt{2n+1}$}\index{terme général} $u_{n}=\sqrt{2n+1}$.

La suite $\mg u$ qu'on note encore
$(u_n)_{n\in\bbn}$ ou même $(u_n)$, est la fonction qui, à n'importe quel
\textbf{entier} $n$ associe le \textbf{réel} $\sqrt{2n+1}$


On pourra donc parler de \emph{limite} de la suite $(u_n)$, c'est à dire $\lin \sqrt{2n+1}$


Si ce n'est qu'une fonction, pourquoi lui avoir donné un nom spécial ?  

\section{Inerprétation \og économique \fg}




Votre mamie vous donne 2 euros 50 tous les ans le 25 décembre. Vous décidez de garder précieusement cet
argent dans  votre chaussette préférée en  vous interdisant d'y toucher  pendant les soixante-quinze
ans à venir.

Notons $C_1$ votre capital après un noël et plus généralement $C_n$ votre capital après $n$ noël. 

On a $C_1=2,5$ puis $C_2=5$, $C_3=7,5$, etc.



Avec un bon sens de l'observation, nous remarquons que 

\[C_n= 2,5\times n\]

Nous avons ainsi tout naturellement construit une \emph{suite} de
sommes d'argent qui est en fait une suite numérique de \emph{terme
général} $C_n=2,5n$.







\section{Suites arithmétiques}

\begin{Defi}[Suite arithmétique]
Une suite  $(u_n)$ est  arithmétique lorsqu'il  existe un réel  $b$ tel  que, pour  tout $n\in\bbn$,

\[u_{n+1}=u_n+b\]

 On appelle $b$ la raison de la suite

\end{Defi}

Les propriétés suivantes seront prouvées à titre d'exercices :

\begin{Pro}
  \'Etant donné une suite arithmétique de raison $b$\bel
\item $\forall n \in\bbn$, $u_n=u_0+nb$
\item $\ds\sum_{k=0}^{n}u_k=\fr{\text{nombre de termes}\times(\text{1er terme+dernier terme})}{2}=\fr{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$
\el
\end{Pro}




En particulier $\ds\sum_{k=0}^nk=\fr{n(n+1)}{2}$ pour tout $n\in\bbn$.

\section{Suites géométriques}


\begin{Defi}[Suite géométrique]

Une  suite $(u_n)$  est géométrique  lorsqu'il existe  un réel  $a$ tel  que, pour  tout $n\in\bbn$,
$$u_{n+1}=a\cdot u_n$$ On appelle $a$ la raison de la suite
\end{Defi}

Les propriétés seront prouvées à titre d'exercices :


\begin{Pro}
  \'Etant donné une suite géométrique de raison $a$\bel
\item $\forall n \in\bbn$, $u_n=u_0\cdot a^n$
\item Si $a\neq 1$, $\ds\sum_{k=0}^{n}u_k=\text{premier terme}\times\fr{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}=u_0\fr{1-a^{n+1}}{1-a}$
\el
\end{Pro}



En particulier $\ds\sum_{k=0}^nq^k=\fr{1-q^{k+1}}{1-q}$ pour tout $n\in\bbn$ et tout réel $q\neq 1$.








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