
\documentclass[fourier]{Polymaths}

\usepackage[height=240mm,width=173mm,a4paper,twoside]{geometry}

\usepackage{bbding,xlop}


\renewcommand\thesubsection{}



\entete{\thesec - \NomSection }{ \NoLecon\   leçon\  - \NomLecon}{Lycée Jean Perrin - \deuz 13 }

\graphicspath{{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0mm}

\large






\LECOND{I}{Première}{LES NOMBRES}{}{Les nombres}{cartoon-pi.ps}

\vspace{1cm}

\SECTIONT{De quoi allons-nous parler~?}

Tout au long de l'année, nous allons travailler avec des nombres, mais savons-nous exactement ce qu'ils représentent, comment et pourquoi ils sont apparus, comment les classer.
Nous commencerons par les \textbf{entiers naturels} en insistant sur certains d'entre eux~:~\textbf{les nombres premiers}.

Nous passerons ensuite aux \textbf{entiers relatifs}, puis aux nombres \textbf{décimaux} et \textbf{rationnels}.

Ce sera l'occasion de travailler sur la \textbf{division euclidienne} et  le \textbf{développement décimal illimité}.

Nous terminerons par les nombres \textbf{irrationnels} et montrerons que $\sqrt{2}$ en fait partie.

Nous aurons ainsi exploré l'ensemble des \textbf{nombres réels}.

Il nous restera à classer ces nombres en \textit{créant} une \textbf{relation d'ordre}. Nous pourrons alors les ranger dans des \textbf{intervalles}.


\SECTION{À la découverte des nombres premiers}

Dans un carré de côté 10, écrivez les nombres de 1 à 100, puis barrez 1, les multiples de 2, 3, 4, etc. : que reste-t-il ?

\SECTION{Savez-vous diviser~?}

\SUBSECTION{Divisons en dessinant}

Vous vous souvenez à peu près du mécanisme de la division que vous avez appris à l'école primaire : vous savez comment ça marche, mais savez-vous pourquoi ça marche~?

Pour vous raffraichir la mémoire, posez la division de 37 par 4.

Pour y voir plus clair, nous \og dessiner \fg cette division. L'idée de base vient du dessin suivant\footnote{C'est même le principe de la démonstration de l'existence de la division euclidienne que vous verrez peut-être en Tale S spécialité maths\dots} : 

\begin{center}
\includegraphics{Nombres.1}
\end{center}


Commentez ce schéma.

Puisque nous voulons voir ce qui se passe \og après la virgule\fg, nous allons dessiner un segment de droite de 20~cm de long, la première graduation correspondra à 36, la dernière 40, l'unité valant 5~cm.

Placez-y 37. 

Divisez alors le segment $[36\pv 37]$ en 10. Que peut-on en déduire~? 

Divisez à nouveau en 10 le petit segment contenant 37. Si votre dessin est précis, que remarque-vous ? Qu'en concluez-vous~?


\SUBSECTION{Traduction du dessin en calcul}

Si vous tapez \CTrois \CSept \CDiv \CQuatre \ sur votre calculatrice, vous obtenez \textifsym{9.25} sur votre écran\footnote{C'est ce que vous aviez déjà obtenu en posant l'opération\dots}.

En pensant aux subdivisions que vous avez tracé sur votre schéma, essayez de  traduire le résultat lu à l'aide d'une égalité faisant intervenir 4, $\fr{4}{10}$ et $\fr{4}{100}$. 


\SUBSECTION{\og J'abaisse un zéro, je mets une virgule\fg}

Sans \og abaisser de zéro\fg, essayez de reposer votre division en utilisant les phrases \og en truc combien de fois quatre\fg, \og en truc combien de fois quatre dixièmes\fg, \og en truc combien de fois quatre centièmes\fg.


\SECTION{Dessinons des racines}

Il aurait été plus correct d'intituler cette activité : \textbf{construisons des irrationnels à la règle et à l'équerre}.

Quelle est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1~? Déduisez-en une \textit{construction} de $\sqrt{2}$.

Construisez de même $\sqrt{5}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{11}$.


\sm

Casse-tête en forme d'escargot adepte du cubisme : quelle est la longueur du dixième segment gris de cette spirale\footnote{Je ne vous demande pas de prouver le résultat mais juste de le deviner} ?


\begin{center}
\includegraphics{Nombres.2}
\end{center}

%\break

\SECTION{$\Mathbold{\sqrt{2}}$ est irrationnel}

\SUBSECTION{Qui se cache derrière l'écriture $\Mathbold{\sqrt{2}}$~?}

$\sqrt{2}$ : qu'est-ce que ça veut dire~? Vous rappelez-vous de la définition vue en collège\footnote{Vous pouvez rechercher comment nos voisins européens appellent ce nombre et comment on a pu l'appeler depuis l'Antiquité}~?

Pour les grecs, un nombre \og existait \fg si l'on pouvait le dessiner. Ayant à votre disposition une règle de longueur 1 et une équerre, pouvez-vous dessiner $\sqrt{2}$~?

\SUBSECTION{Rationnel or not rationnel?}

Comme son nom l'indique, un irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel\dots

Il serait donc utile de se souvenir de  ce qu'est un rationnel : rappelez la définition.

Ainsi, on ne sait pas vraiment ce qu'est un irrationnel, mais on sait ce qu'il n'est pas\footnote{C'est clair !}.

Une des premières questions qui surgit de votre esprit en ébullition est sûrement : est-ce que de tels nombres existent~?

Tapons \CShift\CRacine\CDeux sur notre machine. Nous obtenons \textifsym{1.414213562373}. On pourrait penser qu'en découpant le segment $[1\pv2]$ en fractions suffisamment petites, on puisse \og tomber\fg sur ce nombre, et donc l'exprimer en fractions d'unité. Que pourrait-on en déduire~?

Supposons donc que $\sqrt{2}$ soit un rationnel. Puisque je connais ma définition, je sais alors qu'il existe deux entiers - appelons-les $p$ et $q$ -  tels que $\sqrt{2}=\ofr{p}{q}$. Supposons que $p$ et $q$ sont choisis pour que la fraction soit la plus \og simple\fg possible : comment comprenez-vous cette formulation~?


\SUBSECTION{Où nous allons mettre au point un théorème sur la  parité}

Avant d'aller plus loin, faisons un petit aparté : comment traduire qu'un entier est pair~? Et tant qu'on y est qu'un entier est impair ? Essayer de donner une définition la plus générale possible mais qui permette de caluler\footnote{if you see what I mean\dots}.

À votre avis, $p$ et $q$ peuvent-ils être tous les deux pairs~?

Observez maintenant les liens entre la parité d'un nombre et celle de son carré sur quelques exemples. Cela vous donne des idées~? Essayez alors d'énoncer un théorème\dots puis de le prouver~! 


\SUBSECTION{Revenons à nos moutons}


Bon. On suppose donc que $\sqrt{2}$ s'écrit sous la forme $\ofr{p}{q}$, avec $p$ et $q$ les plus simples possibles. Pouvez-vous en déduire des choses sur la parité de $p^2$ puis sur celle de $p$~?

Comment peut alors s'écrire $p$ ? $p^2$ ? $q^2$ ? Qu'en déduisez-vous sur la parité de $q$ ? 

Méditez sur ce résultat. 


\SUBSECTION{Considérations sur le  raisonnement que nous venons d'utiliser}


Otto \textsc{Schzprwt}, chef des services secrets syldaves, interroge un homme que des agents des forces spéciales ont surpris en train de rôder autour d'une usine ultra-secrète d'aspirateurs.  Pour prouver son innocence, il lui demande de réciter  l'hymne à la gloire du Président syldave, mais le prévenu en est incapable. Otto \textsc{Schzprwt} en déduit donc qu'il n'est pas un patriote syldave, mais  un vil espion à la solde de la Bordurie et le condamne à avaler en moins de 10 minutes une quenelle de grande taille de 18 kg.

Arrivé à ce moment du récit, vous vous demandez si votre pauvre prof de maths à abusé de la Slivoviz, célèbre eau de vie syldave. 

Et bien non~! Car le bon Otto vient d'utiliser le même raisonnement qui nous a conduit à conclure que $\sqrt{2}$ n'était pas rationnel. 

Reprenons les faits : notre hypothèse de départ était que $\sqrt{2}$ était rationnel. Après une série de déductions logiques, nous sommes arrivés à une conclusion \textit{absurde}, à savoir que $p$ et $q$ devaient être tous deux pairs. 

Par un raisonnement juste, nous sommes arrivés à un résultat faux : c'est donc que notre hypothèse de départ était fausse.

Nous avons effectué un \textbf{raisonnement par l'absurde}, qui, malgré son nom, est un type de raisonnement extrêmement rigoureux et que nous utiliserons souvent. 

Son utilisation dépasse le cadre mathématique : il est utilisé par les chefs de services secrets mais aussi couramment par les garagistes, les plombiers, les médecins, les détectives privés, etc.\footnote{Cherchez des situations correspondant à ces corps de métier\dots}

Nous venons de nous initier à la Logique, qui est une discipline qui occupe les esprits depuis des siècles mais qui a connu un véritable essor surtout à partir du début du XX\eme sous l'imulsion du britannique B. \textsc{Russel}. 


%\break


\SECTION{Développement décimal illimité}

\SUBSECTION{Curiosité}

Observez ce qu'affiche une calculatrice quand vous effectuez les calculs suivants :

\[ \fr{324-32}{9}\qquad   \fr{3245-32}{99}\qquad   \fr{324510-32}{9999} \]

Sans preuve, essayez d'écrire 57,333333333333333333333\dots sous forme de fraction.

\SUBSECTION{Une histoire de \dots}

Par convention, les \dots veulent dire qu'il y a une infinité de 3 à droite de la virgule. C'est un peu vague, nous en reparlerons plus bas. 

À  votre avis, que vaut 1,333\dots $-1$,333 ? 1,333$-$ 1,333 ? $1,333\dots -1,33$ ?

Tout ça reste un peu empirique.

\SUBSECTION{L'algèbre au secours de la numération}

Nous aimerions prouver ce que nous avons observé tout à l'heure. Essayons donc d'écrire 32,444\dots sous forme de fraction, puisque la machine nous dit que \textit{ça a l'air} possible. 

Comme c'est embêtant d'écrire 32,444\dots, nous allons lui donner un petit surnom, par exemple \textit{Joe}.

Donc $Joe=32,444\dots$. 

\textbf{LA ruse} : que vaut $10\times Joe -Joe$ ? Déduisez-en  que \textit{Joe} est un nombre rationnel puis retrouvez les résultats précédents.

\SUBSECTION{On n'est pas des Mickey}

Contrairement à cette charmante souris, nous avons dix doigts et pas huit. Nous comptons donc en \textbf{base dix} : qu'est-ce que ça veut dire~?

Pour vous aider à avoir des idées, pensez à ce qui se passe après 9, 99, 999, etc. et surtout, pensez \textbf{puissances de 10}.

\SUBSECTION{Trinité}
 
Après des vacances près de Carnac, Plexigladz, le Grand Chef de Gare du peuple syldave\footnote{C'est à dire le président de Syldavie}
a eu une illumination : tout doit marcher par trois. Il a donc ordonné d'effacer de Syldavie tous les chiffres sauf 0, 1 et 2.

Les Syldaves vont donc devoir apprendre à compter en base 3. 

En vous inspirant de ce que nous avons dit au sujet de la base dix, essayez de nommer cet objet : {\LARGE\textcolor{green}{\FourClowerOpen}}


Plexigladz aime compter ses usines la nuit pour s'endormir : combien en a-t-il\footnote{en base trois, bien sûr} ?

\begin{center}
{\textcolor{bleu_m}{ \LARGE\Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  \Industry\ \Industry\  }}
\end{center}


\SUBSECTION{Développement décimal périodique}

Posez la division de 1 par 3, vous obtenez sans cesse le reste 1 et le déloppement décimal est donc 0,33333333333\dots

En fait, il existe une écriture qui évite les \dots : $0,\underline{3}$ signifie de la même manière que le 3 se répète infiniment.

Voyez ce que donne 13/7.

\begin{center}
\opdiv{13}{7}
\end{center}

Donc on écrit \opdiv[period,style=text]{13}{7}

\SUBSECTION{Si, et seulement si}

\textbf{Si} je nage en maillot de bain dans un lac syldave \textbf{alors} je serai mouillé, mais est-ce que \textbf{si} je suis mouillé \textbf{alors} je nage en maillot de bain dans un lac syldave~?


La première proposition\footnote{\textbf{Si} je nage en maillot de bain dans un lac syldave \textbf{alors} je serai mouillé} est une \textbf{implication} vraie : nager en maillot de bain dans un lac syldave implique d'être mouillé.

On utilise le symbole  $\Longrightarrow$ pour matérialiser cette implication :

\[ \text{Nager en maillot dans un lac syldave}\Rightarrow\text{être mouillé}\]

La deuxième proposition\footnote{\textbf{Si} je suis mouillé \textbf{alors} je nage en maillot de bain dans un lac syldave} est l'\textbf{implication réciproque}. Dans le cas qui nous occupe, cette implication réciproque  est fausse

\[\text{être mouillé}\nRightarrow\text{nager en maillot dans un lac syldave}\]


On dit que ces deux propositions ne sont pas \textbf{équivalentes} :

\[ \text{Nager en maillot dans un lac syldave}\nLeftrightarrow\text{être mouillé}\]



\sm

Revenons à nos nombres.

En pensant à la division posée, expliquer pourquoi un nombre rationnel admet forcément un développement décimal périodique.

Inversement, expliquez pourquoi un nombre admettant un développement rationnel périodique est forcément rationnel.

Comment exprimer ces résultats en termes d'équivalence~?

\SUBSECTION{$\Mathbold{\sqrt{2}}$ admet-il un développement décimal périodique~?}

Si vous répondez correctement à cette question, alors vous commencerez à vous débrouiller en logique :-)


\SUBSECTION{Les limites du développement décimal}

\'Ecrivez sous forme de fraction le nombre 1,\underline{9}.

Des remarques~?




\end{document}