% \documentclass[10pt,a4paper,fourier]{polymaths}
% \renewcommand\thesubsection{}
% 
% \entete{\textbf{\NomChap\ } - \NomSection }{ \NoLecon\   Aventure\  - \NomLecon}{Lycée Jean Perrin - TS }
% 
% \graphicspath{{/home/moi/Lycee/TS/figures/newcourbes/}{/home/moi/Photos/TSX/}{/home/moi/Lycee/TS/figures/}}
% 
% \begin{document}

\thispagestyle{empty}
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 \setlength{\parindent}{0pt}




\LECOND{XVII}{Dix-septième}{UNE LOI DISCRÈTE : LA }{LOI BINOMIALE }{UN EXEMPLE DE LOI DISCRÈTE : LA LOI BINOMIALE}{apple.ps}


% Un exemple de loi discrete~: la loi binomiale}\\


%%\raisebox{\depth}[\depth][\height]{\rotatebox{180}{\reflectbox{
%%{\policetitre Un exercice rigolo...}}}}
%\end{center}
%

\SECTION{\'EPREUVE DE BERNOULLI}{\'Epreuve de Bernoulli}

Pour faire plaisir à votre correcteur de bac, il faudra faire
attention à bien reproduire sur vos copies un modèle de rédaction.
Alors, garde à vous et suivez le maître.

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ne comportant
que deux issues contraires~: pile ou face, aimer ou ne pas aimer
Mireille Mathieu, avoir ou ne pas avoir son bac, être ou ne pas
être, etc, un événement ayant une probabilité $p$ et l'autre
$1-p$.

Par exemple, une urne contient 5 oursins et 3 balles en mousse. Le
tirage d'un objet dans cette urne a deux issues contraires: \bel
\item $P$~: <<~je me pique~>> avec la probabilité 5/8
\item $\bar{P}$~: <<~je ne me pique pas~>> avec la probabilité 3/8.
\el Soit alors $X$ la variable aléatoire à valeurs dans $\{0,1\}$,
prenant la valeur 1 si l'issue de l'épreuve est $P$ et 0 sinon. On
appelle alors la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$
\textbf{loi de Bernoulli de paramètre 5/8}. Le calcul de
l'espérance est aisé (vérifier quand même qu'elle vaut 5/8).

\sm

Imaginons maintenant que nous répétions cette expérience $n$ fois,
en ayant toujours soin de replacer l'objet tiré dans l'urne. La
répétition de ces $n$ épreuves de Bernoulli est appelé un
\textbf{schéma de Bernoulli}. Les issues élémentaires de ces $n$
tirages sont des <<~mots~>> de $n$ lettres, chaque lettre étant un
$P$ ou un $\bar{P}$. On définit alors la variable aléatoire $Y$ à
valeurs dans $\{0,1,2,...,n\}$, donnant le nombre de tirages
<<~piquants~>> de ces issues élémentaires. On dit que $Y$ suit
\textbf{la loi binomiale de paramètres \textit{n}  et 5/8}, notée
$\mg{\BR(n,5/8)}$.

On s'intéresse maintenant à l'événement $(Y=k)$, c'est à dire
l'ensemble des mots de $n$ lettres écrits avec $k$ $P$ et $n-k$
$\bar{P}$. Faîtes un arbre pondéré illustrant la situation (à
l'ordi, c'est pénible). Il est aisé de s'apercevoir que la
probabilité d'un de ces tirages est $(5/8)^k(3/8)^{n-k}$.

Il reste à déterminer combien il y a de tels mots. Ce sont les
anagrammes de $PP...P\bar{P}\bar{P}...\bar{P}$. Vous vous rappelez
qu'il y en a $\fr{n!}{k!(n-k)!}$, c'est à dire $\ds{n \co k}$.

La probabilité de l'événement $(Y=k)$ est donc $\ds{n\co
k}(5/8)^k(3/8)^{n-k}$.

\sm

\ENC{}{Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale
$\BR(n,p)$ et soit $k\in\{0,1,2,...,n\}$. Alors \bel \item
$p(X=k)=\ds{n\co k}p^k(1-p)^{n-k}$ \item on admettra que
$\bbe(X)=np$.\el}


\SECTION{COMMENT FAIRE PLAISIR À SON CORRECTEUR LE JOUR DU
BAC}{Comment faire plaisir à son correcteur le jour du Bac~?}

Il ne faut pas oublier de justifier l'utilisation de la loi
binomiale.

\textsl{L'énoncé~: chaque crocodile qui traverse la clairière
séparant les kékés du fleuve a une probabilité 1/3 de périr écrasé
par un éléphant sautant en parachute. Un matin, 32 crocodiles
quittent les kékés pour rejoindre le fleuve. On note $X$, le
nombre de victimes des éléphants parmi ces crocodiles. Les
survivants reviennent le soir par le même chemin. On note $Y$ le
nombre total de victimes. Calculez la probabilité que 22
crocodiles se baignent dans le fleuve et la probabilité que 7
crocodiles retournent sains et saufs le soir dans les kékés.
Calculez $E(Y)$. Comment interpréter ce résultat~?}

\sm

L'expérience qui consiste à traverser la clairière est une épreuve
de Bernoulli. On appelle $A$ l'événement <<~être écrasé par un
éléphant~>>. Alors $p(A)=1/3$. Les traversées sont indépendantes
et ont la même probabilité de finir tragiquement, donc constituent
un schéma de Bernoulli. $X$ suit donc la loi binomiale
$\BR(32,1/3)$.

La probabilité que 22 crocodiles se baignent dans le fleuve vaut
donc $p(X=10)$. Alors  $$p(X=10)=\ds{32\co
10}\left(\fr{1}{3}\right)^{10}\left(\fr{2}{3}\right)^{22}=\fr{2^{22}\times32!}{10!22!3^{32}}\simeq0,146$$

Vérifiez que la probabilité pour un crocodile de sortir indemne de
l'aller-retour est $(2/3)^2$, et donc que la probabilité d'être
écrasé est $1-(2/3)^2$. Comme il y a 32 crocodiles indépendants,
$Y$ suit la loi binomiale $\BR(32,5/9)$. Il ne reste plus qu'à
calculer $p(Y=25)$. Enfin, $\bbe(Y)=32\times \fr{5}{9}\simeq
17,8$. On peut espérer que 14,2 crocodiles survivent aux éléphants
parachutistes, soit en moyenne $44\%$ des crocodiles.


\SECTION{VRAI OU FAUX~?}{Vrai ou faux~?}

Dans lequel des cas suivants $X$ est-elle une variable binômiale~? Donnez quand c'est possible $X(\Omega)$, les paramètres de la loi
ainsi que l'espérance.

\been

\item Dans une classe on tire au sort et sans remise 5 élèves, $X$ est le nombre d'élèves abonné à Star'Ac mag dans le lot tiré au sort.
\item Dans un sac de 20 billes contenant 7 noires et 13 blanches, on tire avec remise 3 d'entre elles, $X$ étant le nombre de billes
noires obtenues.
\item On lance 10 dés, $X$ est le nombre de <<~5~>> obtenus.
\item Un circuit comprend 32 lampes en série, pour chacune d'elle, la probabilité qu'elle fonctionne est de 3/100, $X$ est le nombre de
lampes qui s'allument lorsqu'on appuie sur l'interrupteur. Même exercice avec cette fois des lampes en parallèle. \een

\break

\SECTION{LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES}{Loi faible des grands
nombres}

Souvenez-vous : il y a bien longtemps, vous étiez en classe de
seconde et vous découvriez les probabilités. Vous lanciez un dé et
notiez la  fréquence d'obtention de tel ou tel résultat. Déjà fort
perspicace, vous aviez remarqué que plus vous lanciez le dé, plus
la fréquence d'obtention de 4, par exemple, tendait vers 1/6 qui,
vous l'avez appris depuis, est la probabilité d'obtenir 4 en
lançant un dé équilibré.

Pour résumer, plus vous répétez une expérience aléatoires dans des
conditions identiques et avec indépendance des résultats, plus la
\textsl{fréquence observée} de succès tend vers la probabilité de
succès : c'est ce qu'on appelle la loi faible des grands nombres
et nous allons essayer de prouver ce résultat.
%dans le cas particulier de la loi binomiale.


 \SUBSECTION{Inégalité de Markov}

 Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité $p$ et  ne prenant que des valeurs
 positives (rangées comme d'habitude dans l'ordre croissant) $x_1,
 x_2,\cdots, x_n$.

 Soit $\e$ un nombre\footnote{qui sera notre seuil d'erreur
 fréquence/probabilité} strictement positif fixé.

 Le monde se sépare en deux catégories : les $x_i$ strictement inférieurs à
 $\e$ et ceux qui lui sont supérieurs.

 Supposons par exemple que $x_1\ie x_2\ie \cdots x_{k-1}< \e\ie
 x_{k}\ie\cdots\ie x_n$

 \been
 \item Rappelez la définition de l'espérance $\bbe(X)$.

 \item Montrez que $\bbe(X)\se \e \ds\sum_{i=k}^n p(X=x_i)$.

 \item Déduisez-en l'inégalité de Markov $\quad\ds
 p(X\se\e)\ie\fr{\bbe(X)}{\e}$

 \item Déduisez-en cette autre formulation : $p(X<\e)\se
 1-\fr{\bbe(X)}{\e}$



 \item \textbf{Cas particulier de la loi binomiale}

 On suppose que $X$ suit la loi binomiale $\BR(n,p)$.
Donnez une majoration de $p\pa{\fr{X}{n}\se \e}$ et une minoration
de $p\pa{\fr{X}{n}<\e}$ à l'aide de l'inégalité de Markov.




\een



\SUBSECTION{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}


\been

\item \textbf{Variance}

La variance d'une variable aléatoire est la quantité qui mesure la
\textsl{dispersion} de $X$ autour de sa moyenne, c'est à dire son
espérance. Plus les valeurs sont dispersées, plus sa variance
augmente. On attend donc que si $X$ est une variable aléatoire
constante, sa variance sera nulle.
comme nous l'avons déjà vu à la définition \ref{var} page~\pageref{var}.
Donnons-en une définition plus synthétique
\ENC{Variance}{La variance de la variable aléatoire $X$ est
définie par $$\bbv(X)=\bbe\Big(\big(X-\bbe(X)\big)^2\Big)$$}

On aura remarqué que la variance est <<~homogène~>> à $X^2$. On a
donc défini $\sqrt{\bbv(X)}$ qu'on appelle écart-type de $X$ et
qu'on note souvent $\sigma(X)$

\item Appliquez l'inégalité de Markov astucieusement pour obtenir
l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
$$p\big(|X-\bbe(X)|\se\e\big)\ie\fr{\bbv(X)}{\e^2}$$

\item\textbf{Une application de ces inégalités}

Les inégalités de nos amis franco-russes permettent d'avoir une
estimation de certaines probabilités sans qu'on connaisse la loi
de probabilité. il faut toutefois être conscient que la
probabilité exacte peut être assez éloignée de la borne proposée.

Par exemple, le nombre de caleçons molletonnés fabriqués dans une
usine syldave en une semaine est une variable aléatoire
d'espérance 50 et de variance 25.

Estimez, grâce à l'inégalité de Markov, la probabilité que la
production de la semaine à venir dépasse 75 caleçons molletonnés.

Estimez, grâce à l'inégalité de Bianaymé-Tchebychev, la
probabilité que la production de la semaine à venir soit
strictement comprise entre 40 et 60 caleçons molletonnés. \een


\SUBSECTION{Loi faible des grands nombres dans le cas  de la loi
binomiale}

 \been
\item Soit $\lambda$ un réel strictement positif et $X$ une variable aléatoire quelconque.
 Montrez que
$\bbe(\lambda X)=\lambda \bbe(X)$ puis que $\bbv(\lambda
X)=\lambda^2\bbv(X)$.



\item Considérons maintenant le cas où $X$  obéit à la loi binomiale
$\BR(n,p)$.

Intéressons-nous à la probabilité d'obtenir $k$ succès au cours
des $n$ répétitions de l'épreuve.

Le rapport $k/n$ est alors le nombre relatif (la fréquence) de
succès.

Nous allons essayer de confirmer notre étude expérimentale, à
savoir que, plus $n$ est grand, plus le rapport $k/n$ est proche
de la probabilité $p$ de succès à chacune des épreuves.



On admettra que la variance de $X$ vérifie $\bbv(X)=np(1-p)$

Montrez que $$p\pa{\ab{\fr{X}{n}-p}>\e}\ie\fr{p(1-p)}{n\e^2}$$

puis que $$\lin p\pa{\ab{\fr{X}{n}-p}\ie\e}=1$$

Qu'en déduisez-vous~?

\een



 \SECTION{EXERCICES SYLDAVES}{Exercices Syldaves}


\exot{Opération sur les variables aléatoires}

Un Syldave effectue une série infinie de lancers avec une pièce de monnaie mal équilibrée qui amène pile avec la probabilité $p$.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le rang d'apparition du premier pile. Calculez $\bbe(X)$.

Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de fois où face est sorti au moment où pile apparaît pour la première fois. Calculez $\bbe(Y)$.


\exot{Test de patriotisme syldave}

Suite à une étude démographique  de la  Syldavie, on estime que la probabilité pour qu'un Syldave interrogé au hasard connaisse par c\oe ur les \oe uvres du GGC (Grand Guide Charismatique) est de p.

On a classé la population en   groupes de $n$ Syldaves. On va comparer deux stratégies pour détecter les traitres incultes dans chaque groupe :
\bel 
\item la première consiste à interroger les membres du groupe un par un;
\item on suppose que les services de renseignements syldaves ont mis au point un test rapide permettant de vérifier de manière globale si un groupe contient au moins un traitre. Si ce test global est positif, alors on interroge un a un ses membres pour identifier les traitres, sinon, on passe au groupe suivant.
\el

On note X et Y les variables aléatoires associées au nombre de tests effectués en suivant respectivement la première puis la deuxième stratégie.

Déterminez les lois de X et Y ainsi que leurs espérances.

\env{$\bbe(X)=n$ et $\bbe(Y)=n+1-n(1-p)^n$}

On suppose à présent que $p=\ofr{1}{100}$. Déterminez pour quelles valeurs de $n$ la deuxième méthode est plus économique.

\env{$1\ie n\ie 643$}

\exot{Manipulation des coefficients binomiaux}

Chaque dimanche, pendant $n$ semaines, le Père Thurbais,
archevêque de Syldavie, parle de mythes à l'abbesse, pour les
novices qui doutent de leur foi. Après la confession de leurs
torts, le bon père ne peut plus les quitter. Aussi, les $n$ nonnes
qui se sont passées de pain jusqu'aux matines proposent à l'abbé
parasite une petite collation dont l'effet est embarrassant. Il a
la trouille des cuites, mais elles aiment le goût du blanc et lui
offrent un vin bien seyant. La probabilité pour que ce coup de
blanc le grise et lui donne la pire nausée est
$p_n~=~1-\lambda/n$. On note $X_n$ le nombre de dimanches où ce
curé précis passe pour matines sans avoir ce petit ennui
($0<\lambda<n$). Précisez la loi de probabilité de $X_n$. Montrez
que pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$ on a

$$\bbp(X_n=k)=\fr{\lambda^k}{k!}\pa{\prod_{i=0}^{k-1}\pa{1-\fr{i}{n}}}\fr{\pa{1-\fr{\lambda}{n}}^n}{\pa{1-\fr{\lambda}{n}}^k}$$

\exot{Bac syldave : toujours plus d'économies}

Le ministre syldave de l'\'Education décide de donner le bac à
80\% des enfants dès leur naissance. C'est vrai ! Pourquoi
attendre 18 ans et dépenser tant d'argent quand on est même pas
sûr du résultat, tout ça pour permettre à des profs d'être payés à
être en vacances la moitié de l'année~?

Le ministre découpe donc dans du carton dix carrés numérotés de 1
à 10 et propose au nouveau-né de tirer un carton au hasard. \bel
\item si c'est un multiple de cinq, il est recalé,
\item si c'est un sept,il obtient la mention <<~très bien~>>,
\item si c'est un multiple de quatre, il obtient la mention
<<~bien~>>,
\item si c'est un multiple de trois, il obtient la mention
<<~assez bien~>>
\item sinon, il obtient la mention <<~passable~>>.
\el

\been

\item Calculez la probabilité pour un nouveau-né syldave d'obtenir
le bac avec la mention <<~passable~>>.


\sm


Le village natal du beau-frère du  ministre attend sept naissances
pour l'année qui suit. On sait qu'il y aura trois filles et quatre
garçons\footnote{Comme chacun sait, la capitale syldave s'appelle
Gattaca}. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de
garçons bacheliers et $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de
filles bachelières parmi ces bébés.

\item Déterminer les lois de probabilité de $X$ et $Y$.
\item Calculez la probabilité d'avoir plus de bachelières que de
bacheliers.
\item Calculez la probabilité pour que ce village
dépasse l'objectif du ministre. \een


\exot{Le blues du dentiste syldave}

Après le lycée, l'université : le ministre syldave a supprimé la
faculté de médecine. L'unique dentiste de Gattaca est un ancien
boxeur, aveugle et  parkinsonien. Il arrache les dents de ses
patients au hasard. Les syldaves venant le consulter ont toujours
une seule dent de malade parmi les trente-deux qu'ils possèdent
encore avant l'intervention des tenailles ou des poings, c'est
selon. On considère les dix premiers clients, en notant $X$ le
nombre de dents malades extraites à bon escient.

\been

\item Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire
$X$. Calculez la probabilité pour qu'aucun de ces patients n'y
laisse la dent malade.

\item Combien doit-il traiter de personnes pour extraire au moins
une dent malade avec une probabilité supérieure à 0,6~?

\item Le dernier client est assez obstiné : il se laisse arracher
les dents une à une tant que la dent malade n'a pas été extraite.
On note $Y$ le nombre de dents saines que ce vaillant patriote
voit tomber des mâchoires de la redoutable paire de tenailles.


Calculez la probabilité pour qu'il reparte complètement édenté,
puis $\bbe(Y)$ et $\sigma(Y)$.

\een






\SECTION{D\'ESINT\'EGRATION RADIOACTIVE : UNE PREMIÈRE APPROCHE PROBABILISTE}{Désintégration radioactive : une première approche
probabiliste} \label{radiobin}

Vous avez vu en cours de physique la loi de décroissance radioactive qui décrit l'évolution temporelle du nombre de noyaux radioactifs de
l'échantillon $$N(t)=N_0e^{-\lambda t}$$ dans laquelle $N_0$ représente  le nombre de noyaux radioactifs de l'échantillon à l'instant
$t=0$. J'imagine pourtant qu'en mathématiciens avertis cette loi a dû vous laisser perplexe : comment une fonction censée prendre des
valeurs entières peut-elle être solution d'une équation différentielle linéaire et donc s'exprimer à l'aide d'une exponentielle ?!?

Ainsi $N(1/\lambda)=N_0/e\not\in\bbn$ !!! Pour vous rassurer, on vous a dit qu'il s'agissait d'un nombre <<~moyen~>> de noyaux non
désintégrés à l'instant $t$, mais quel concept se cache derrière cette <<~moyenne~>> ? Que se cache-t-il derrière cet ambigu $N(t)$~? Le
modèle différentiel manquant cruellement de rigueur, appelons \textbf{les probabilités à la rescousse~!}



\SUBSECTION{Hypothèse de travail} Soit une matière fissile contenant
$N$ atomes radioactifs . Dans le cas de la radioactivité <<~naturelle~>>, on peut considérer que les désintégrations des atomes sont
indépendantes et que pour un intervalle de temps donné, chaque atome a la même probabilité d'être désintégré. De plus, le phénomène est
homogène~: il n'y a pas de moments privilégiés où les désintégrations auraient plus de <<~chances~>> de se produire. Enfin, la
probabilité qu'un noyau se désintègre dans un intervalle de temps $]t,t+\Delta t[$ ne dépend pas de $t$. On parle alors de \textsl{ loi
de durée de vie sans vieillissement}~: un atome ne connaît ni d'adolescence (ouf!) ni de troisième âge. Il est en perpétuel âge mûr puis
meurt brusquement.

\SUBSECTION{Hypothèse de modèle} Soit $\Delta t$ un intervalle de
temps <<~très petit~>> fixé. D'après ce qui précède, on peut MOD\'ELISER la désintégration radioactive en disant que la probabilité qu'un
atome se désintègre dans l'intervalle de temps $\Delta t$ vaut
$$ p(\Delta t)\simeq\lambda \Delta t$$ avec $\lambda$ une
constante positive ne dépendant que de la nature du noyau. Ainsi, pour une matière donnée, la probabilité pour le noyau de se désintégrer
durant un intervalle de temps $\Delta t$ ne dépend que de $\Delta t$ et pas du moment où a été fait la mesure. On suppose qu'un physicien
effectue $n$ mesures à intervalle de temps régulier $\Delta t=t/n$, $t$ étant un temps de mesure arbitrairement choisi (la seconde, par
exemple).

\SUBSECTION{Une modèlisation probabiliste}

 On\footnote{Il est utile de rappeler que ON est un pronom \textit{indéfini}...} lance vers les cieux $N$ pièces truquées de façon que la
 probabilité d'obtenir FACE en retombant sur le plancher des vaches vaut $p=1-\lambda t$ : on détruit toutes les pièces donnant PILE et
 on recommence avec les restantes jusqu'à avoir effectué $n$ lancers ou éliminé toutes les pièces. Comme vous l'avez deviné, $N$
 représente le nombre de noyaux non encore désintégrés et $n$  le nombre d'intervalles de temps (de milliardièmes de secondes
 ou ce que vous voulez) que dure  l'observation.

 \been
 \item Lorsque $n=1$, tout va bien : montrez que la probabilité pour qu'il reste $k$ pièces ( ou noyaux ) après 1 intervalle de temps
 vaut $${N \co k} p^k(1-p)^{N-k}$$
 \item Pour les observations suivantes, les choses se compliquent car on ne connaît plus le nombre de pièces (noyaux) survivantes : le
 nombre $N(\Delta t)$ de pièces restantes après $n$ lancers varie avec chaque expérience. On pense naturellement (!) à introduire une
 \textit{variable aléatoire} qu'on notera $X_n$ et qui prend pour valeurs les différents $N(t)$ déterminés par chacune des expériences
 possibles.
\een
 \sm

 \SUBSECTION{Une pause s'impose !}

 $X_n$ est une fonction et s'appelle variable aléatoire. La notation $N(t)$ laisse penser que $N$ est une fonction (au sens mathématique
 du terme) et pourtant c'est une valeur prise par la fonction $X_n$.

 À part ça, d'un point de vue physique, il faut comprendre que le phénomène de désintégration est \textit{aléatoire} : on ne peut pas
 savoir a priori combien exactement de noyaux seront désintégrés entre deux observations, mais on va va tenter de déterminer le nombre $moyen(?)$ de
 désintégrations.

\SUBSECTION{Une désintégration binomiale}

Intéressons-nous à une pièce (un noyau) : quelle est la probabilité pour qu'elle soit encore présente au $n$-ième lancer~? Compte tenu de
l'indépendance des lancers (désintégrations), que pouvez-vous en déduire pour la variable aléatoire $X_n$~?

Montrez que l'espérance mathématique $E(X_n)$ vaut $N(1-\la t/n)^n$.

Maintenant, vous vous souvenez du résultat classique\footnote{voir TD page~\pageref{expo} ou la démonstration plus rapide
page~\pageref{expobis}} $exp(x)=\lin\pa{1+\fr{x}{n}}^n$ et donc ici $$\lin N(1-\la t/n)^n=Ne^{-\la t}$$

Miracle ! Le lien est fait. Nous savons maintenant \textit{en toute rigueur} ce que représente $N(1-\la t/n)^n$ (et par suite sa limite
quand $n$ tend vers l'infini en extrapolant un peu) : c'est l'espérance de la variable aléatoire $X_n$ définie comme prenant pour valeurs
les nombres $N(t)=N(n\Delta t)$ issus des diverses expériences possibles. Nous verrons plus tard un moyen spécifique de faire le lien
avec le phénomène continu\footnote{ voir page~\pageref{expobis}}.


\SUBSECTION{Les maths au secours du sens physique}

Une fois n'est pas coutume, les mathématiques enrichissent notre sens physique. Nous allons un peu déborder des programmes de
mathématiques et de physique pour exploiter au maximum le résultat que nous venons d'obtenir.

\sm

Tout d'abord, nous pouvons calculer la valeur moyenne de $X_n$ mais nous sommes maintenant capables de calculer la probabilité de
l'événement $X_n=k$ $$\bbp(X_n=k)= {N\co k} p^{nk}(1-p)^{N-k}$$ On pourra même répondre à des questions du genre : quelle est la
probabilité qu'une expérience donne un $N(t)$ supérieur à sa moyenne théorique $Ne^{-\la t}$ (dont $N(1-\la t/n)^n$ est une bonne
approximation).

\sm

Le petit dessin suivant nous permet même de comprendre une propriété très importante :

%\begin{maplegroup}
%
%\mapleresult
%\begin{center}
%\mapleplot{bibin201.eps}
%\end{center}
%
%\end{maplegroup}
%\begin{maplegroup}
%\begin{mapleinput}
%\end{mapleinput}
%
%\end{maplegroup}



%\begin{maplegroup}
%\begin{mapleinput}
%\mapleinline{active}{1d}{with(plots): with(linalg): f:=(k,t)->stats[statevalf,pf,binomiald[30,evalf((1-t/180)^30)]](k-1):}
%{%
%}
%\end{mapleinput}
%
%\begin{mapleinput}
%\mapleinline{active}{1d}{A:=matrix(31,20,f):
%\\plotsetup(plotoptions=`color,noborder`);
%matrixplot(A,orientation=[-60,20],axes=frame,labels=[k,    t,
%proba]);}{%
%}
%\end{mapleinput}

%\mapleresult
\begin{center}
\includegraphics[height=8cm,angle=270]{bibin301.eps}
\end{center}

%\end{maplegroup}
%\begin{maplegroup}
%\begin{mapleinput}
%\end{mapleinput}
%
%\end{maplegroup}









Cette espèce de courbe en cloche tordue peut vous aider à visualiser que l'espérance correspond à peu de choses près aux valeurs suivant
la ligne de crête et donc que la moyenne correspond à \textbf{la valeur la plus probable}, ce qui rassure d'autant plus le physicien.

Ceci n'a rien d'évident a priori : il existe des lois de probabilités où la variable aléatoire n'a aucune chance de prendre pour valeur
l'espérance mathématique\footnote{Donnez un exemple d'une telle loi...}. Pourtant, ça nous paraît normal car c'est le cas de figure des
\textit{distributions normales} qu'on représente à l'aide de la fameuse <<~cloche~>> de Gauss


\begin{center}
\includegraphics{integ.4}
\end{center}

que vous étudierez sûrement un jour. Or, il se trouve que la Loi Binomiale tend vers la Loi Normale sous certaines conditions. La boucle
est bouclée.

\sm

Toujours plus fort : on peut prouver que le pourcentage  de noyaux survivants $N(t)/N$ définit une variable aléatoire $X/N$ qui suit
approximativement une loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $\sqrt{\fr{m(1-m)}{N}}$ : ce dernier résultat indique que plus le
nombre initial de noyaux est grand, plus les fluctuations relatives des désintégrations pourront être contrôlées.

\sm

Bref, vous découvrez une utilisation des probabilités sûrement insolite pour vous : loin d'être une discipline vaseuse pour turfiste,
elles sont en fait un pilier de la science moderne.




\SECTION{BAC}{Bac}

\exot{Encore un exercice de bac sans intérêt...}

Un joueur dispose d'un d\'e cubique bien \'equilibr\'e dont les faces sont 
num\'erot\'ees de 1 \`a 6, et de trois urnes U$_1$, U$_2$ et U$_3$ contenant
 chacune $k$ boules, où $k$ d\'esigne un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a 3.

\noindent Il y a trois boules noires dans l'urne U$_1$, deux boules noires dans l'urne
 U$_2$ et une boule noire dans l'urne U$_3$, et toutes les autres boules contenues
 dans les urnes sont blanches.

\noindent Les boules sont indiscernables au toucher.

\noindent Une partie se d\'eroule de la façon suivante :

\noindent le joueur lance le d\'e,

\noindent $\bullet~$	s'il obtient le num\'ero 1, il prend au hasard une boule dans 
l'urne U$_1$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_1$ ;

\noindent $\bullet~$	s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule
 dans l'urne U$_2$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_2$ ;

\noindent $\bullet~$	si le num\'ero amen\'e par le d\'e n'est ni le 1 ni un multiple de 
trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_3$, note sa couleur et la
 remet dans l'urne U$_3$.

\noindent On d\'esigne par A, B, C, et N les \'ev\`enements suivants : 

A : \og  Le d\'e am\`ene le num\'ero 1. \fg{}

B : \og Le d\'e am\`ene un multiple de trois. \fg{}

C : \og Le d\'e am\`ene un num\'ero qui n'est ni le 1, ni un multiple de 3. \fg{}

N : \og La boule tir\'ee est noire.\fg{}

\begin{enumerate} \item Le joueur joue une partie.

\begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'e qu'il obtienne une boule noire est \'egale \`a 
$\cfrac{5}{3k}$.

\item Calculer la probabilit\'e que le d\'e ait amen\'e le 1 sachant que la boule
 tir\'ee est noire.

\item D\'eterminer $k$ pour que la probabilit\'e d'obtenir une boule noire soit 
sup\'erieure \`a $\cfrac{1}{2}$.

\item D\'eterminer $k$ pour que la probabilit\'e d'obtenir une boule noire soit 
\'egale \`a $\cfrac{1}{30}$.

\end{enumerate}

\item Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilit\'e d'obtenir une 
boule noire en jouant une partie soit \'egale \`a $\cfrac{1}{30}$.

Le joueur joue 20 parties, ind\'ependantes les unes des autres.

\noindent Calculer, sous forme exacte puis arrondie \`a $10^{-3}$, la probabilit\'e qu'il 
obtienne au moins une fois une boule noire.

\end{enumerate}








\exot{Probabilité et polynômes}




Une boîte contient $60$ boules blanches et $40$ boules noires. On effectue dans cette boîte des tir
ages successifs avec remise de chaque boule après tirage. On s'arrêtera à l'obtention d'une boule b
lanche.

\begin{enumerate}

\item Dans cette question, on ira au maximum à $4$ tirages. On appellera $X$ la variable aléatoire
égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtention de la première boule blanche. Par convention,
$X$ sera égal à $0$ si l'on n'obtient pas de boule blanche après les $4$ tirages.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que $X$ soit égal à $0$.
\item Calculer la probabilité pour que $X$ soit égal à $k$, $k$ valant successivement $1$, $2$, $3
$ et $4$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on procédera à $n$ tirages au maximum, $n$ étant un entier naturel non
nul.
De même on appellera $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtentio
n de la première boule blanche et ici encore $X$ sera nul si l'on n'obtient pas de boule blanche ap
rès $n$ tirages.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que $X$ soit égal à $k$, $k$ étant un entier naturel variant de
$1$ à $n$.
\item On considère le polynôme $P$ tel que $P(x) = 1 + 2x + 3 x^2 + ... + nx^{n - 1}$.

Soit $E(X)$ l'espérance de la variable aléatoire $X$. Montrer que $E(X)=\cfrac{3}{5}P\left(\cfrac{
2}{5}\right)$.
\item On rappelle que pour tout réel $x$ différent de $1$, on a $1 + x + x^2 + ... + x^n =\cfrac{1
-x^{n+1}}{1-x}$.

En dérivant les deux termes de l'égalité précédente, déterminer une autre expression de $P(x)$ et e
n déduire que $E(X) =\cfrac{5}{3}-\left(n+\cfrac{5}{3}\right)\times \left(\cfrac{2}{5}\right)^n$.

\end{enumerate}

\end{enumerate} 






\exot{}
\textsl{ Pour les questions} 1 \textsl{ et} 2, \textsl{ on donnera les résultats sous forme de fraction et sous forme décimale approchée par défaut à} $10^{-3}$ \textsl{ près}.

\noindent  Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.

\begin{enumerate}\item Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies.

\begin{enumerate}\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 

\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.

\end{enumerate}

\item Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les év\`enements suivants :

C1 : \og L'enfant choisit la boîte cubique \fg{},

C2 : \og L'enfant choisit la boîte cylindrique \fg{}, 
 
R :  \og L'enfant prend une bille rouge \fg{},
 
V :  \og L'enfant prend une bille verte \fg{}.
  
\begin{enumerate}\item Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu. 
  
\item Calculer la probabilité de l'év\`enement R. 
  
\item Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique ?

\end{enumerate}

  \item L'enfant reproduit $n$ fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.
  
\begin{enumerate}\item Exprimer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses $n$ choix. 
  
\item Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $p_{n} \geqslant  0,99.$

\end{enumerate}

\end{enumerate}












  
\exot{}\label{ope} 

Une compagnie de transport d\'esire optimiser les contrôles afin de limiter l'impact des fraudes
et les pertes occasionn\'ees par cette pratique.

\noindent  Cette compagnie effectue une \'etude bas\'ee sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d'un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont ind\'ependants les uns des autres et que la probabilit\'e pour tout voyageur d'\^etre contrôl\'e est \'egale  \`a $p$.

\noindent  Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l'amende est de cent euros.

\noindent  Claude fraude syst\'ematiquement lors des quarante trajets soumis  \`a cette \'etude.

\noindent  Soit $X_{i}$ la variable al\'eatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôl\'e au $i$-\`eme trajet et la valeur 0 sinon. Soit $X$ la variable al\'eatoire d\'efinie par $X = X_{1} +  X_{2} +  X_{3} + \cdots + X_{40}$.

\begin{enumerate}\item D\'eterminer la loi de probabilit\'e de $X$.

\item Dans cette  on suppose que $p = \dfrac{1}{20}$.

\begin{enumerate}\item Calculer l'esp\'erance math\'ematique de $X$.

\item Calculer les probabilit\'es $P(X= 0),~ P(X = 1)$ et $P(X =  2)$.

\item Calculer  \`a $10^{-4}$ pr\`es la probabilit\'e pour que Claude soit contrôl\'e au plus deux fois.

\end{enumerate}

\item Soit $Z_{i}$  la variable al\'eatoire qui prend pour valeur le gain alg\'ebrique r\'ealis\'e par le fraudeur.

Justifier l'\'egalit\'e $Z = 400 - 100 X$ puis calculer l'esp\'erance math\'ematique de $Z$ pour $p = \dfrac{1}{5}$.

\item On d\'esire maintenant d\'eterminer $p$ afin que la probabilit\'e que Claude subisse au moins trois contrôles soit sup\'erieure  \`a $99\:\%$.

\begin{enumerate}\item D\'emontrer que $P(X \leqslant 2) = (1 - p)^{38}\left(741p^2 + 38p + 1\right)$.

\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 1] par : $f(x)= (1 - x)^{38}\left(741x^2 + 38x + 1\right)$.
	Montrer que $f$ est strictement d\'ecroissante sur [0 ; 1] et qu'il existe un unique
	r\'eel $x_{0}$ appartenant  \`a l'intervalle [0 ; 1] tel que $f(x_{0}) = 0,01$. D\'eterminer l'entier naturel $n$ tel que $\dfrac{n}{100}<   x_{0} < \dfrac{n+1}{100}$.

\item En d\'eduire la valeur minimale qu'il faut attribuer  \`a $p$ afin que la probabilit\'e que
Claude subisse au moins trois contrôles soit sup\'erieure ou \'egale  \`a $99\:\%$.

(On exprimera $p$ en fonction de $x_{0}$).

\end{enumerate}

\end{enumerate}


% \end{document}
