% $Header: /cvsroot/latex-beamer/latex-beamer/solutions/conference-talks/conference-ornate-20min.en.tex,v 1.6 2004/10/07 20:53:08 tantau Exp $
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  % or ...

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  % or whatever (possibly just delete it)
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\title[\'Equations différentielles] % (optional, use only with long paper titles)
{\'Equations différentielles}

\subtitle
{}

\author[IUT SGM 1] % (optional, use only with lots of authors)
{IUT SGM 1 }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the \inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute[IUT SGM] % (optional, but mostly needed)


\date[Mars 2006] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Mars 2006}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Sommaire}
  \tableofcontents
  % You might wish to add the option [pausesections]
\end{frame}



\section{\'Equations différentielles du premier ordre}
\subsection{Généralités}
\begin{frame}
\frt{Définition}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction de trois variables. On appelle équation différentielle du premier ordre une équation de la forme
\[f(y',y,x)=0\]
avec $y$ une fonction dérivable de la variable $x$ et de dérivée $y'$
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
\frt{Exemples}
\begin{example}
$y'=3y$ est une équation différentielle du premier ordre : on a bien $f(y',y,x)=0$ en posant 
\[f~:~(X,Y,Z)\mapsto X-3Y\]
\end{example}
\pause
\begin{example}En terminale, vous avez étudié un cas particulier d'équations différentielles : \alert{les équations différentielles linéaires à coefficients constants} du type 
\[y'=ay+b, \quad\text{ avec } (a,b)\in\bbr^2\]
\end{example}
\end{frame}

\subsection{\'Equations linéaires homogènes  à coefficients constants}
\begin{frame}
\frt{\'Equation $\Mathbold{y'=ay}$}
\begin{theorem}
Les fonctions solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ (avec $a$ un réel donné) sont les fonctions $$x\mapsto \la
{\rm e}^{ax}$$ où $\la$ est une constante arbitraire.
\end{theorem}



Vous aurez donc remarqué qu'il existe une infinité de fonctions
vérifiant cette équation différentielle si on ne donne pas d'autre
précision.


\end{frame}


\begin{frame}
\begin{example}
Résolvons  $(E_1) :3y'+2y=0$ 
\end{example}

$(E_1)\ssi y'=-\fr{2}{3}y$, donc les solutions sont les fonctions de la forme \[y~:~x\mapsto \la {\rm e}^{-\efr{2x}{3}}\]
\end{frame}

\begin{frame}
\frt{Interprétation graphique}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.8\textheight]{ED_1.eps}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\frt{Unicité de la solution}

Pour assurer l'unicité des solutions, nous avons besoin du \alert{théorème de \textsc{Cauchy}} qui fait appel à la notion de continuité d'une fonction de plusieurs variables, donc hors de notre portée.

 Par la suite nous retiendrons que si l'on peut écrire l'équation différentielle sous la forme $y'=f(x,y)$ avec $f$ <<~suffisamment régulière~>> sur un intervalle ouvert contenant $x_0$, alors il existe une unique solution telle que $y(x_0)=y_0$

\end{frame}



\begin{frame}

\frt{Unicité de la solution}
\begin{example}
Résolvons  $(E_1) :3y'+2y=0$ sachant que $y(0)=1$
\end{example}
La fonction $f~:~(x,y)\mapsto -\dt y$ est <<~assez régulière~>> sur $\bbr$.

Nous savons déjà que les solutions sont les fonctions de la forme $y~:~x\mapsto \la {\rm e}^{-\efr{2x}{3}}$.  Donc $y(0)=1=\la$.




\end{frame}


\subsection{\'Equations linéaires}

\begin{frame}
\frt{\'Equations linéaires}

\begin{definition}
Une équation différentielle linéaire du 1\er ordre est une équation de la forme 
\[a(x)y'+b(x)y=f(x)\]
avec $a$, $b$ et $f$ des fonctions continues sur un même intervalle I.
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
\frt{\'Equation sans second membre}

\begin{definition}
L'équation sans second membre associée à $a(x)y'+b(x)y=f(x)$ est 
\[ a(x)y'+b(x)y=0\]

\end{definition}

\pause

\begin{theorem}
Les solutions de l'équation différentielle  $a(x)y'+b(x)y=0$ sont de la forme 
\[ y(x)=\la{\rm e}^{-\int\frac{b(x)}{a(x)}\d x}\]
avec $\la$ un réel
\end{theorem}


\end{frame}


\begin{frame}
\begin{examples}
\begin{itemize}
\item Résoudre l'équation différentielle $y'-y\sin x=0$
\item Résoudre l'équation différentielle $x^2y'+y=0$
\end{itemize}
\end{examples}
\end{frame}




\begin{frame}


\begin{theorem}
Pour obtenir la solution générale de l'équation \[(E)~:~a(x)y'+b(x)y=f(x)\] on ajoute la solution générale de l'équation sans second membre à une solution particulière de (E).
\end{theorem}



\end{frame}



\begin{frame}
\frt{Variation de la constante}
Nous savons résoudre l'équation sans second membre : le problème sera souvent de trouver une solution particulière.

\begin{regle}
Si $x\mapsto \la\f(x)$ est la solution générale de l'équation sans second membre, on cherche des solutions  de l'équation différentielle sous la forme 
\[y(x)=\la(x)\f(x)\]
où $x\mapsto \la(x)$ est maintenant une fonction dérivable de la variable $x$.
\end{regle}



\end{frame}


\begin{frame}
\frt{Variation de la constante}
\begin{examples}
\begin{itemize}
\item Résoudre sur $]0,+\infty[$ l'équation différentielle $xy'-2y=x^3{\rm e}^x$
\item Résoudre sur $]0,+\infty[$ l'équation différentielle $x^2y'+(1-2x)y=x^2$
\end{itemize}
\end{examples}

\end{frame}



\subsection{Autres équations}

\begin{frame}
\frt{\'Equation de Bernoulli}

\begin{definition}
Une équation de Bernoulli est une équation de la forme 
\[a(x)y'+b(x)y=y^af(x)\qquad \text{avec} a\neq 1\]
\end{definition}

Une telle équation se résout en posant $z=y^{1-a}$

\end{frame}

\begin{frame}
\frt{\'Equation de Bernoulli}
\begin{example}
Résoudre l'équation différentielle $2xy^2-y+xy'=0$
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
\frt{\'Equations à variables séparables}

\begin{definition}
C'est une équation de la forme \[a(x)=y'b(y)\]
\end{definition}
\pause
\begin{regle}
On écrit l'équation sous la forme $a(x)\d x=b(y)\d y$ qui se traduit par 
\[\int a(x)\d x=\int b(y)\d y\]
\end{regle}
\end{frame}



\begin{frame}
\frt{\'Equations à variables séparables}
\begin{example}
Résoudre $y'={\rm e}^{x+y}$
\end{example}

\end{frame}




\section{\'Equations différentielles du deuxième ordre}
\subsection{Généralités}
\begin{frame}
\frt{Définition}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction de quatre variables. On appelle équation différentielle du deuxième ordre une équation de la forme
\[f(y'',y',y,x)=0\]
avec $y$ une fonction deux fois dérivable de la variable $x$, de dérivée première $y'$ et de dérivée seconde $y''$.
\end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{examples}

\begin{itemize}
\item $y''=3y'-32y^2+\sin x$ est une équation différentielle du premier ordre : on a bien $f(y'',y',y,x)=0$ en posant 
\[f~:~(X,Y,Z,T)\mapsto X-3Y+32y^2-\sin x\]


\item En physique, vous avez souvent rencontré de telles équations. Ainsi, pour un pendule simple on obtient l'équation \[\theta''=-\fr{{\rm g}}{\rm l}\theta\]
\end{itemize}
\end{examples}
\end{frame}


\begin{frame}
\frt{Exemple}
\begin{example}

Considérons l'équation différentielle $(E) :
y''-2y'+y=x^2$

\begin{itemize}

\item Montrez que la fonction $f$ définie sur $\bbr$ par
$f(x)=x^2+4x+6$ est une solution de $(E)$.

\item Montrez que $f$ est la seule fonction polynômiale du second
degré solution de $(E)$.

\item Montrez que la fonction $g$ définie sur $\bbr$ par
$g(x)=(2x-5)e^x+x^2+4x+6$ est une autre solution de $(E)$.

\item Montrez que la fonction $h$ définie sur $\bbr$ par
$h(x)=(32x-80)e^x+x^2+4x+6$ est aussi solution de $(E)$.

\end{itemize}


\end{example}
\end{frame}

\subsection{\'Equations se ramenant au premier ordre}
\begin{frame}
Il faudra commencer par vérifier si l'équation différentielle ne peut pas être résolue comme une équation différentielle du premier ordre.

\begin{examples}
\begin{description}
\item[\'Equations incomplètes en y]

Considérons par exemple l'équation $y''+y'=x$. On se ramène au premier ordre en posant $z(x)=y'(x)$. 
\item[\'Equations incomplètes en x]

C'est un peu plus délicat. Considérons l'équation $y''+(y')^2+yy'=0$. On pose $z(y)=y'$, alors $y''=zz'$.


\end{description}
\end{examples}
\end{frame}

\subsection{\'Equations différentielles linéaires du second ordre}



\begin{frame}
\frt{\'Equations linéaires}

\begin{definition}
Une équation différentielle linéaire du 2\eme ordre est une équation de la forme 
\[a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x)\]
avec $a$, $b$, $c$ et $f$ des fonctions continues sur un même intervalle I.
\end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}

\frt{Remarques}

On définit comme dans le cas du premier ordre de l'équation sans second membre. On admettra qu'il est nécessaire et suffisant de connaître deux solutions particulières indépendantes de l'équation sans second membre pour obtenir toutes les solutions qui s'écrivent alors comme combinaison linéaire de ces deux solutions particulières.

Malheureusement, il est assez difficile de résoudre de telles équations. Nous nous contenterons donc de l'étude des équations à coefficients constants.

\end{frame}

\subsection{\'Equations  linéaires à coefficients constants}



\begin{frame}
\frt{\'Equations linéaires à coefficients constants}

\begin{definition}
Une équation différentielle linéaire du 2\eme ordre à coefficients constants est une équation de la forme 
\[ay''+by'+cy=f(x)\]
avec $a$, $b$, $c$ des réels  et $f$ une fonction continue sur un  intervalle I.
\end{definition}
\end{frame}


\subsection{\'Equation caractéristique}


\begin{frame}


\begin{definition}
On appelle équation caractéristique de l'équation différentielle $ay''+by'+cy=0$ l'équation d'inconnue r \[ar^2+br+c=0\]
\end{definition}

Il reste à discuter selon le signe du discriminant.

\end{frame}

\subsection{Résolution de l'équation sans second membre}

\begin{frame}
Soient $r_1$ et $r_2$ les solutions de l'équation caractéristique et $(\la_1,\la_2)\in\bbr^2$
\begin{theorem}
\begin{description}
\item[$\Delta>0$] alors  $y=\la_1\e^{r_1x}+\la_2\e^{r_2x}$ 
\item[$\Delta=0$] alors $r_1=r_2=r$ et  $y=\e^{rx}\pa{\la_1x+\la_2}$ 
\item[$\Delta<0$] alors $r_{1,2}=a\pm ib$ et  $y=\e^{ax}\pa{\la_1\cos(bx)+\la_2\sin(bx)}$ 
\end{description}
\end{theorem}

\end{frame}


\begin{frame}
\begin{examples}
Résoudre
\begin{itemize}
\item $y''-6y'+9y=0$
\item $y''-2y'+5y=0$
\item $2y''-5y'+3y=0$ avec $f(0)=0$ et $f'(0)=1$
\end{itemize}
\end{examples}
\end{frame}


\subsection{\'Equation avec second membre}


\begin{frame}
Comme dans le cas du premier ordre

\begin{theorem}
Pour obtenir la solution générale de l'équation \[(E)~:~ay''+by'+cy=f(x)\] on ajoute la solution générale de l'équation sans second membre à une solution particulière de (E).
\end{theorem}

mais il est plus difficile de trouver une solution particulière, sauf dans quelques cas particuliers à connaître.


\end{frame}


\begin{frame}
\frt{Le second membre est une fonction polynôme}

\begin{theorem}

Si $ay''+by'+cy=P(x)$ avec P une fonction polynôme de degré $n$, alors on cherche une solution particulière sous forme d'une fonction polynôme de degré
\begin{itemize}

\item $n$ si $a$, $b$ et $c$ sont tous non nuls;
\item $n+1$ si $a\neq 0$, $b\neq 0$ et $c=0$;
\item $n+2$ si $a\neq 0$ et $b=c=0$.

\end{itemize}


\end{theorem}

\end{frame}




\begin{frame}

\frt{Le second membre est une fonction polynôme}

\begin{examples}
Résoudre $y''-2y'-3y=P(x)$ avec 
\begin{itemize}
\item $P(x)=2x^2-1$
\item $P(x)=2x^2-x$
\item $P(x)=2x^2$
\end{itemize}
\end{examples}

\end{frame}



\begin{frame}
\frt{$f(x)$ est de la forme $\e^{mx}P_n(x)$ avec $m\in\bbc$}

On se ramène au cas précédent en posant $y(x)=z(x)\e^{mx}$ et on obtient le théorème suivant

\begin{theorem}
Après changement de variable $y(x)=z(x)\e^{mx}$, l'équation devient 
\[az''+(2am+b)z'+(am^2+bm+c)z=P(x)\]
On cherche alors $z$ sous la forme d'un polynôme de degré
\begin{itemize}
\item $n$ si $am^2+bm+c\neq 0$ ($m$ n'est pas racine de l'équation caractéristique);
\item $n+1$ si $am^2+bm+c= 0$ et $2am+b\neq 0$;
\item $n+2$ si $am^2+bm+c= 0$ et $2am+b= 0$.

\end{itemize}
\end{theorem}



\end{frame}


\begin{frame}
\frt{$f(x)$ est de la forme $\e^{mx}P_n(x)$ avec $m\in\bbc$}

\begin{example}
Résoudre $y''-y=2x\e^x$
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}

Il peut être pratique de décomposer le second membre en somme de deux fonctions simples.

\begin{theorem}
Si $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ pour tout $x$ de I et si $y_1$ et $y_2$ sont les solutions respectivement de $ay''+by'+cy=f_1(x)$ et $ay''+by'+cy=f_2(x)$ alors $y_1+y_2$ est une solution particulière de $ay''+by'+cy=f(x)$
\end{theorem}



\end{frame}



\begin{frame}
Cela sera surtout pratique quand le second membre sera du type $P(x)\cos(\omega x)$, cas très fréquent en physique. Il suffira alors de revenir au dernier cas étudié en introduisant les seconds membres $P(x)\e^{{\rm i}\omega x}$ puis $P(x)\e^{-{\rm i}\omega x}$. Il restera à faire la demi somme des solutins particulières trouvées puisque $\cos(\omega x)=\fr{\e^{{\rm i}\omega x}+\e^{-{\rm i}\omega x}}{2}$


\begin{example}
Résoudre $y''+4y=2x\cos(2x)$
\end{example}

\end{frame}


\end{document}
