\documentclass[fourier]{Polymaths}


\graphicspath{{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}}
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\usepackage[height=245mm,width=173mm,a4paper,twoside]{geometry}
\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection}. }
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\renewcommand\thesec{\theNumLecon.\arabic{sec}}

\entete{\thesec - \NomSection }{ Chapitre \theNumLecon - \NomLecon}{Lycée Jean Perrin - T\textsuperscript{ale} STI GE }
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{1}

\setlength{\parindent}{0pt}
\TITRE{II}{Chapitre}{LES COMPLEXES}{}{Les Complexes}{shadok.eps}




\begin{Abstract}
Les nombres complexes portent bien leur nom ! Ils interviennent partout : en algèbre, en analyse, en géométrie, en électronique, en traitement du signal, en musique, etc. Et en plus, ils n'ont jamais la même apparence : tantôt sous forme algébrique, tantôt sous forme trigonométrique, tantôt sous forme exponentielle, ... Leur succès vient en fait de deux propriétés : en travaillant sur les nombres complexes, tout polynôme admet un nombre de racines égal à son degré et surtout ils permettent  de calculer facilement en dimension 2. 
\end{Abstract}

% 
% \SECTION{POURQUOI UTILISE-T-ON LES COMPLEXES ?}
% 
% \SUBSECTION{Pour résoudre des équations}
% 
% \SUBSUBSECTION{Combien l'équation $\mathbf{x^3+px+q=0}$ a-t-elle de solutions dans ${\mathbf\bbr}$~?}
% Historiquement, c'est en essayant de résoudre cette équation que les mathématiciens italiens du XVI\eme siècle eurent pour la première fois l'idée d'utiliser des nombres dont le carré est négatif. Nous qui vivons au XXI\eme, nous avons des outils pour dénombrer les solutions.
% 
% Considérons donc la fonction $f~:~x\mapsto x^3+px+q$ avec $p$ et $q$ des entiers. En étudiant cette fonction, nous allons vérifier qu'elle admet toujours au moins une solution réelle et même déterminer le nombre de solutions selon les valeurs de $p$ et $q$.
% 
% \sm
% 
% Comme $\Lim{-\infty}f(x)=-\infty$,  $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$ et que $f$ est continue sur $\bbr$, le Théorème des Valeurs Intermédiaires assure l'existence d'une valeur d'annulation de $f$ car elle change de signe.
% 
% \sm
% 
% Maintenant, calculons la dérivée de $f$ : $f'(x)=3x^2+p$. Quel est son signe ? Distinguons deux cas :
% 
% \begin{itemize}
% \item $\mathbf{p\se0}$ : alors la dérivée est strictement positive sur $\bbr^*$, donc $f$ ne s'annule qu'une fois.
% \item $\mathbf{p<0}$ : alors la dérivée s'annule en deux valeurs opposées $\pm\sqrt{-\fr{p}{3}}$ que nous appellerons $a$ et $-a$. On obtient donc le tableau de variations suivant
% 
%  \begin{center}
% \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
% \hline
% $x$ & $-\infty$ & & $-a$ & &$a$&  &$+\infty$\\
% \hline
% Signe $f'(x)$ & &$+$ &0 &$-$&0 &$+$ & \\
% \hline
%  & & &$f(-a)$ & & & &$+\infty$\\
% $f(x)$& &\croi& &\dec&   & \croi & \\
%  &$-\infty$ & & & &$f(a)$ & & \\
% \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
% 
% Maintenant, il faudrait connaître les signes respectifs de $f(-a)$ et $f(a)$ pour savoir si $f$ s'annule sur les intervalles $]-\infty,a]$, $[-a,a]$ et $[a,+\infty[$.
% 
%  On montre que $f(a)=q-2a^3$ et $f(-a)=q+2a^3$ en utilisant le fait que $f(a)=0$.
% \vspace{3cm}
% 
% Alors $f(a)\cdot f(-a)=$
% 
% 
% On peut enfin remarquer que $f(a)<f(-a)$ car 
% 
% Entamons donc la discussion
% \bel
% \item Si $f(a)$ et $f(-a)$ sont tous deux de même signe, c'est à dire si  $f(a)\cdot f(-a)>0$  soit encore si   $4p^3+27q^2>0$ 
% alors $f$ ne s'annule qu'une seule fois.
% \vspace{3cm}
% \item Si 
% \vspace{3cm}
% \item Si 
% \vspace{3cm}
% 
% \el
% 
% 
% \end{itemize}
% 
% \SUBSUBSECTION{Résolvons ces équations}
% 
% Plaçons-nous maintenant dans le cas $4p^3+27q^2>0$. Nous savons qu'alors l'équation admet une unique solution réelle.
% 
% \break
% 
% Giralomo Cardano a  établi\footnote{Vous pouvez essayer de le prouver en posant $x=u+v$ et en résolvant un système d'équations d'inconnues $u$ et $v$ } en 1547 que cette  solution  est
% 
% $$\sqrt[3]{\fr{-q}{2}+\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\fr{-q}{2}-\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}$$
% 
% \sm
% 
% Utilisez cette formule pour trouver une solution de $(E_1)~:\
% x^3-36x-91=0$ \vspace{3cm}
% 
% On voudrait faire de même avec $(E_2)~:~x^3-15x-4=0$. Un problème apparaît...
% 
% \vspace{2cm}
% 
% Admettons qu'on puisse prolonger les calculs usuels aux racines carrées de nombres négatifs en utilisant le <<~symbole~>> $\sqrt{-1}$ et utilisons quand même la formule de notre ami italien.
% 
% \vspace{3cm}
% 
% Bon, on ne semble pas très avancé. Alors un petit coup de pouce : calculez $\pa{2+\sqrt{-1}}^3$ et $\pa{2-\sqrt{-1}}^3$
% 
% \vspace{3cm}
% 
% On trouve alors une solution réelle $\al$ de $(E_2)$. Or $4p^3+27q^2$ est négatif, donc on devrait trouver deux autres racines réelles. Comme on en a une, cela veut dire qu'on peut factoriser $x^3-15x-4$ par $x-\al$ : faites-le !
% (Font)              Font shape `T1/futs/b/n' tried instead on input line 18.
% LaTeX Font Info:    Font shape `FMX/futm/m/n' will be
% 
% \vspace{3cm}
% 
% Déduisez-en les deux autres solutions réelles.
% \vspace{3cm}
% 
% Ainsi, à partir de ces travaux, les mathématiciens ont eu l'idée de prolonger les calculs algébriques aux expressions comportant des racines carrées négatives. Il faudra attendre le XIX\eme siècle pour que ces nombres  <<~qui ne faisaient que passer~>> aient droit de cité et soient étudiés rigoureusement. Il faudra attendre la même époque pour que le héros romantique Evariste Galois propose une étude théorique des équations de degré supérieur à 2, mais ceci est une autre histoire...
% 
% 
% \SUBSECTION{Pour compter en dimension 2}
% 
% \pro Vous  savez <<~compter en dimension 1~>>, c'est à dire additionner et multiplier des nombres réels qu'on peut représenter sur la droite des réels :
% 
% \bigskip
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/limfonc.32}
% \end{center}
% 
% 
% Faute d'outils plus rigoureux\footnote{Vous les verrez peut-être un jour...Il y a plusieurs manières de construire l'ensemble $\bbr$. Presque toutes définissent un nombre réel comme étant la limite d'une suite d'approximations par des rationnels.}, on vous a présenté en classe de seconde l'ensemble des nombres réels comme étant l'ensemble des abscisses des points de la droite orientée ci-dessus.
% 
% (Font)              Font shape `T1/futs/b/n' tried instead on input line 18.
% LaTeX Font Info:    Font shape `FMX/futm/m/n' will be
% Vous utilisez depuis l'école  primaire ces nombres et les opérations usuelles qui leur sont associées, addition et multiplication, sans trop vous poser de questions. Rappelons quelques propriétés\footnote{Ces propriétés donnent à $\bbr$ une structure de \textit{corps} : au temps préhistorique des mes années de collège, cette notion algébrique de corps était vue en 4\eme et maintenant en math sup. On comprend pourquoi tant de vos parents ont été effrayés par les mathématiques...}:
% \bel
% \item L'addition possède un élément neutre noté 0 : $x+0=0+x=x$.
% \item La somme de 2 réels est encore un réel.
% \item Chaque réel $x$ admet un opposé $-x$ vérifiant $x+(-x)=(-x)+x=0$.
% \item La multiplication possède un élément neutre noté 1 : $x\times 1=1\times x=x$
% \item Le produit de deux réels est encore un réel.
% \item Chaque réel différent de 0 admet un inverse $x^{-1}$ vérifiant $x\times x^{-1}=x^{-1}\times x=1$
% \item La multiplication est distributive sur l'addition : $x\times(y+z)=x\times y + x\times z$.
% \el
% 
% Tout ceci est bien naturel. Maintenant, on voudrait décoler de l'axe des réels et faire le même travail en dimension 2.
% 
% \tsx \c Ca veut dire qu'on travaille maintenant sur le plan tout entier ?
% 
% \pro C'est ça. On note $\bbr^2$ cet ensemble : l'ensemble des coordonnées des points du plan ! Est-ce qu'on peut définir une addition et une multiplication qui engloberaient et généraliseraient celles vues dans $\bbr$ ?
% 
% \tsx Ben pour l'addition, on fait $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$.
% 
% \pro Pourquoi pas ! Vérifions que les  propriétés de l'addition sont vérifiées.
% 
% \tsx On a un élément neutre : (0,0) car $(x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y)$.
% 
% \pro Et surtout l'élément neutre de $\bbr^2$ se situe <<~au même endroit~>> que celui de $\bbr$ : on l'a juste <<~gonflé~>> d'un deuxième zéro pour être reconnu dans $\bbr^2$.
% 
% \tsx Et pour le symétrique, on prend $(-x,-y)$ car $(x,y)+(-x,-y)=(0,0)$ l'élément neutre.
% 
% \pro En effet. Et pour la multiplication ?
% 
% \tsx \c Ca doit être pareil : $(x,y)\times(x',y')=(xx',yy')$ avec $(1,1)$ comme élément neutre.
% 
% \pro Pourquoi pas, mais dans ce cas, l'élément neutre de la multiplication dans $\bbr^2$ ne serait pas <<~au même endroit~>> que celui de $\bbr$ 
% 
% 
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/limfonc.33}
% \end{center}
% 
% On voudrait plutôt un élément neutre (1,0) et donc que $(x,y)\times(1,0)=(x,y)$. Je vous propose la multiplication suivante
% $$(x,y)\times(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y)$$
% 
% \tsx Fichtre! Essayons :  $(x,y)\times(1,0)=(x\times1-y\times0,x\times0+y\times1)=(x,y)$. \c Ca marche.
% 
% \pro Je vous laisse vérifier que cette multiplication est distributive sur l'addition et que tout élément $(x,y)$ de $\bbr^2$ différent de $(0,0)$ admet un inverse $\pa{\fr{x}{x^2+y^2},-\fr{y}{x^2+y^2}}$.
% 
% \tsx Je suis impressionné par ce petit exposé, mais je ne vois pas trop le lien avec le $\sqrt{-1}$ du paragraphe précédent.
% 
% \pro Et bien observez $(0,1)$ et élevez le au carré.
% 
% \tsx Allons-y :  $(0,1)\times (0,1)=(0-1,0+0)=(-1,0)$, bon et alors ?
% \pro Alors $(-1,0)$, c'est le réel $-1$ <<~gonflé~>>. Donc $\sqrt{-1}$ a un <<~représentant~>> dans $\bbr^2$. Dans le plan, il correspond au point de coordonnées $(0,1)$. Et donc nous allons pouvoir calculer avec ce fameux nombre $\sqrt{-1}$ assez naturellemnt en utilisant les opérations décrites précédemment.
% 
% \tsx Naturellement, c'est beaucoup dire ! C'est un peu compliqué comme multiplication.
% 
% \pro Je vous l'accorde.  C'est pourquoi nous allons adopter une autre tactique. \`A chaque élément $(x,y)$ de $\bbr^2$ nous allons faire correspondre un nombre qu'on qualifiera de \textit{complexe}.
% 
% L'idée vient de l'observation \textit{intuitive}\footnote{Les $\curvearrowright$ renvoient à une notion extrêmement importante et rigoureuse : la notion d'\textit{isomorphisme}. Deux ensembles sont isomorphes lorsqu'il existe une bijection entre les deux et que cette bijection <<~conserve~>> les opérations. Cela permet de travailler \textit{à isomorphisme près} sur un ensemble compliqué en le remplaçant par un ensemble isomorphe plus approprié à la situation. C'est ce qui se passe entre $\bbr^2$ et $\bbc$}   :  <<~ $(x,y)\curvearrowright x\cdot(1,0)+y\cdot (0,1)\curvearrowright x\times 1+y\times \sqrt{-1}\curvearrowright x+y\sqrt{-1}$~>>
% 
% 
% Nous allons même donner un nom à ce $\sqrt{-1}$ : appelons-le $i$ pour qu'il fasse moins peur. Ainsi nous avons les correspondances
% 
% \begin{center}
% \begin{tabular}{ccccc}
% Le point M &$\longleftrightarrow$ & Le couple $(x,y)$ & $\longleftrightarrow$ & Le nombre complexe $x+iy$\\
% $\updownarrow$ & &  $\updownarrow$ & & $\updownarrow$ \\
% Le plan $\PR$ & $\longleftrightarrow$ & $\bbr^2$ &$\longleftrightarrow$ & L'ensemble des nombres complexes
% \end{tabular}
% \end{center}
% 
% 
% Pour se simplifier la vie, nous allons donner un nom à cet ensemble des nombres complexes : $\bbc$..
% Et maintenant observez comme les calculs deviennent faciles en prologeant les règles valables sur $\bbr$ !
% 
% \tsx Si vous le dites : $(x+iy) + (x'+iy')= x+iy+x'+iy'=(x+x')+i(y+y')$
% 
% \pro Comme nous avions $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$, mais en plus simple.
% 
% \tsx Et $(x+iy)\cdot(x'+iy')=xx'+ixy'+iyx'+i^2yy'$
% 
% \pro N'oubliez pas que $i^2=-1$
% 
% \tsx Alors $(x+iy)\cdot(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+yx')$
% 
% \pro Comme nous avions $(x,y)\times (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$. 
% 
% Donc nous allons pouvoir calculer en dimension 2 en généralisant les règles de dimension 1. Nous avons juste ajouté ce nombre $i$ de carré $-1$.  En particulier, tous les nombres réels sont des nombres complexes : $\bbr\subset\bbc$. 
% 
% Nous allons pouvoir associer à chacun de ces nombres réels un point du plan et donc associer des transformations du plan à des calculs dans $\bbc$ : on va résoudre des problèmes de géométrie par le calcul.
% 
% 
% \sm
% 
% Si vous avez compris ces relations, tout ce qui va suivre va vous paraître <<~trop~>> simple....




\SECTION{VOCABULAIRE ET PREMI\`ERES PROPRI\'ET\'ES}

%Suite à  la discussion de nos deux compères : 


\ENC{\Thm\ \ L'ensemble ${\mathbf \bbc}$} {On  définit un ensemble $\bbc$ 
\bel
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\bbr$
\item contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$ 
\item tel que chaque élément $z$ de $\bbc$ peut s'écrire de manière \textbf{unique} sous la forme   $$z=a+ib \quad \text{avec } a \text{ et } b \text{ des nombres réels}$$
\el}



\SUBSECTION{Forme algébrique}

Cette écriture unique est appelée \textbf{forme algébrique} du réel $z$.

Le nombre $a$ est appellé \textbf{partie réelle} de  $z$ et notée $\RR e(z)$

Le nombre $b$ est appellé \textbf{partie imaginaire} de  $z$ et notée $\IR m(z)$


\pstribox{!}\  $\IR m(z)$ est un nombre réel.

\SUBSECTION{\`A quoi sert l'unicité de la forme algébrique ?}

Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat $ 2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0$ avec $x$ et $y$ des réels.  Et bien le membre de gauche est une forme algébrique puisque de la forme réel + $i\cdot$réel. Or la forme algébrique de 0 est $0+i\cdot0$. 

Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles ( bienvenue dans la deuxième dimension... ) et donc 

$$ 2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x+3y-5=0\\ 7x-32y+1=0\end{cases}$$

\SUBSECTION{Le plan complexe}

Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu'on munit d'un repère $\pa{O,\ve{e_1},\ve{e_2}}$

\des{limfonc.34}{5}


\`A tout nombre complexe $z=a+ib$ on associe le point $M$ de coordonnées $(a,b)$ qu'on  appelle \textbf{image} de complexe $z=a+ib$. On le note souvent $M(z)$.

Inversement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(a,b)$, on associe son \textbf{affixe} $z=a+ib$  qu'on note souvent $z_M$.

Enfin,  à tout vecteur $\ve{u}=a\ve{e_1}+b\ve{e_2}$ de coordonnées $(a,b)$ dans la base $\pa{\ve{e_1},\ve{e_2}}$  est associé  une affixe $z_{\ve{u}}=a+ib$


\SUBSECTION{Premiers calculs géométriques}

\bel

\item Soient $\ve{u}$ et $\ve{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(a,b)$ et $(a',b')$, alors  $\ve{u}+\ve{v}=(a+a')\ve{e_1}+(b+b')\ve{e_2}$, donc 

\enc{$z_{\ve{u}+\ve{v}}=z_{\ve{u}}+z_{\ve{v}}$}



\item De même, si $\la$ est un nombre réel 


\enc{ $z_{\la \ve{u}}=\la z_{\ve{u}}$}

\item Alors, si  $I$ est le \textbf{milieu} du segment $[A,B]$, on a

\enc{ $z_I=\ud(z_A+z_B)$}

\item Plus généralement, si $G$ est le barycentre du système $\Big\{(A_1,\al_1),(A_2,\al_2),\cdots,(A_n\al_n)\Big\}$ alors 

\enc{$z_G=\fr{\al_1z_{A_1}+\al_2z_{A_2}+\cdots \al_nz_{A_n}}{\al1+\al2+\cdots\al_n}$}

\item Pour tous points $A$ et $B$ 

\enc{$z_{\ve{AB}}=z_B-z_A$}

\el


\SUBSECTION{Conjugué d'un complexe}

\ENC{\Def\ \ Conjugué}{On appelle conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ le nombre $$\overline{z}=a-ib$$}




Géométriquement cela donne 

\des{limfonc.35}{4}

Je vous laisse prouver les propriétés immédiates suivantes

\ENC{\Prop\ \ Propriétés des conjugués}{\bel
\item $M(z)$ et $M'(\overline{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe $(O,\ve{e_1})$
\item $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
\item $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\ \, \overline{z_2}$
\item $\overline{\overline{z}}=z$
\item $z\in\bbr\Longleftrightarrow z=\overline{z}$
\item $z\in i\bbr\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$
\item $\RR e(z)=\ud(z+\overline{z})$
\item $\IR m(z)=\ud(z-\overline{z})$
\item Si $z=a+ib$, alors $z\overline{z}=a^2+b^2$
\el}


\SUBSECTION{\`A quoi servent les conjugués ?}


\SUBSUBSECTION{\`A montrer qu'un complexe est un réel}

En effet, si on arrive à montrer que $\overline{z}=z$, alors on en conclut que $z$ est réel.

\SUBSUBSECTION{\`A rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques}

En effet, $$z\cdot\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2$$

Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de $2+i$,  $$\fr{1}{2+i}=\fr{1}{2+i}\times\fr{2-i}{2-i}=\fr{2+i}{4+1}=\fr{2}{5}+\fr{1}{5}i$$

\SUBSECTION{Module d'un nombre complexe}

\ENC{\Def\ \ Module}{Le module du complexe  $z$ est le réel positif noté $|z|$ tel que $$|z|=\sqrt{z\ \,\overline{z}}$$}

Quelques remarques \bel
\item Cette définition en est bien une car $z\ \,\overline{z}=a^2+b^2$ d'après notre étude sur les conjugués. 
\item Si $a$ est un réel, $|a|=\sqrt{a\ \,\overline{a}}=\sqrt{aa}=\sqrt{a^2}$ car $\overline{a}=a$. Donc le module de $a$ est bien la valeur absolue de $a$ et notre notation est cohérente.

La notion de module dans $\bbc$ généralise donc celle de valeur absolue dans $\bbr$.
\el
\SUBSUBSECTION{Interprétation géométrique}

\des{limfonc.36}{4}

Nous venons de voir que, si $z=a+ib$, alors 

\enc{$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$}

Or, qu'est-ce que $\sqrt{a^2+b^2}$ si ce n'est la norme du vecteur $\ve{OM}$ ou encore la longueur $OM$.

\enc{$\ab{z_M}=\Vert\ve{OM}\Vert=OM\qquad \ab{z_{\ve{u}}}=\Vert \ve{u}\Vert$}


\SUBSUBSECTION{Propriétés des modules}

Je vous laisse prouver les propriétés suivantes

\ENC{\Prop\ \ Modules}{\bel
\item $\ab{\overline{z}}=\ab{z}$
\item $\ab{z}=0\ssi  z=0$
\item $\ab{z_1\cdot z_2}=\ab{z_1}\cdot\ab{z_2}$
\item $\RR e(z)\ie \ab{z}$
\item $\IR m(z)\ie \ab{z}$
\el}

La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration

\ENC{\Prop\ \ Inégalité triangulaire}{$$\ab{z_1+z_2}\ie\ab{z_1}+\ab{z_2}$$}

C'est à dire, pour aller de Nantes à Montaigu, il est plus long de passer par Bratislava que de suivre la RN 137.

Comme il s'agit d'une démonstartion classique, nous allons la détailler. Elle pourra servir à d'autres occasions.

\sm

Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de chaque membre.

Or $\ab{z_1+z_2}^2=\pa{z_1+z_2}\pa{\overline{z_1+z_2}}=(z_1+z_2)\pa{\overline{z_1}+\overline{z_2}}=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2$

\sm

D'autre part $\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2=\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2$

Il s'agit donc de comparer les <<~doubles produits~>>.

Or $z_1\overline{z_2} +\overline{z_1}z_2=z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\RR e\pa{z_1z_2}\ie 2\ab{z_1z_2}$ d'après une propriété ci-dessus. Donc 
$$\ab{z_1+z_2}^2=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2\ie\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2=\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2$$


\SECTION{R\'ESOLUTION D'\'EQUATIONS DU SECOND DEGR\'E}

\SUBSECTION{Racine carrée d'un nombre complexe}

L'objet de cette section est de résoudre dans $\bbc$ l'équation $z^2=\al$

\SUBSUBSECTION{Racine carrée d'un nombre réel}

On suppose ici que $\al$ est un réel.


\bel
\item \boldmath $\al\se 0$\unboldmath : alors $z^2=\al\ssi (z-\sqrt{\al})(z+\sqrt{\al})=0$. Les solutions\footnote{LA solution si $\al=0$} sont donc $\pm \sqrt{\al}$

On connait : $z^2=4\ssi z=-2$ ou $z=2$

\item \boldmath $\al< 0$\unboldmath : alors $z^2=\al\ssi (z-i\sqrt{-\al})(z+i\sqrt{-\al})=0$. Les solutions sont donc $\pm i\sqrt{-\al}$

C'est la nouveauté : $z^2=-4\ssi z=-2i$ ou $z=2i$

\el


\SUBSUBSECTION{Racine carrée d'un complexe non réel}

Les choses se compliquent ! Nous allons traiter un exemple pour ne pas vous faire (trop) peur. 


Cherchons les racines carrées de $4+3i$, à savoir les nombres
$a+ib$ tels que $(a+ib)^2=a^2-b^2+2iab=4+3i$. Par unicité de la forme algébrique on obtient 

$\bsyc a^2-b^2&=&4\\a^2+b^2&=&5\\2ab&=&3\esyc$

Ainsi $a^2=9/2$ et $b^2=1/2$, donc $a=\pm3\sqrt{2}/2$ et
$b=\pm\sqrt{2}/2$, or $2ab=3$, donc $a$ et $b$ sont de même signe.

Les solutions sont donc $\fr{\sqrt{2}}{2}(3+i)$ et
$-\fr{\sqrt{2}}{2}(3+i)$



\SUBSECTION{Résolution de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec} \ a,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels}

C'est comme en 1\ere : $ax^2+bx+c=0\ssi a\cro{\pa{x+\fr{b}{2a}}^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}}=0\ssi \pa{x+\fr{b}{2a}}^2=\fr{b^2-4ac}{(2a)^2}$

Tout dépend donc du signe de $b^2-4ac$, puis on utilise les résultats de la section précédente.

\ENC{\Thm\ \ Résolution de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec} \ a,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels}{L'équation $ax^2+bx+c=0$ admet toujours des solutions sur $\bbc$. \\
Notons $\Delta=b^2-4ac$ le \textbf{discriminant} de l'équation \bel
\item Si $\Delta=0$, il existe une unique solution $x=-\fr{b}{2a}$
\item Si $\Delta>0$, il existe deux solutions réelles  $x=\fr{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
\item Si $\Delta<0$, il existe deux solutions complexes conjuguées $x=\fr{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$\el}


Vous serez amenés au hasard d'exercices à résoudre des équations à coefficients complexes, mais on n'attend de vous aucun savoir-faire particulier : vous serez guidés pas à pas.


\SECTION{FORME TRIGONOM\'ETRIQUE}

\SUBSECTION{Argument d'un complexe non nul}

\SUBSUBSECTION{Forme trigonométrique}

Vous vous souvenez de la correspondance entre $\bbc$ et le Plan. Nous avions privilégié les coordonnées cartésiennes d'un point. On aurait pu utiliser tout aussi bien ses \textbf{coordonnées polaires}. Le Plan a cette fois besoin d'être orienté (il le sera implicitement à partir de maintenant).

\des{limfonc.37}{4} 

Ainsi, $(r,\theta)$ étant le couple de coordonnées polaires de l'image $M$ de $z$, on a $z=r\cos\theta+ir\sin\theta$ déterminé de manière unique, car c'est en fait une forme algébrique déguisée : on l'appelle \textbf{forme trigonométrique} du complexe $z$.

\enc{$z=r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$}

Les physiciens notent ce résultat sous la forme 

\enc{$z=\cro{r,\theta}$}


\SUBSUBSECTION{Congruence modulo 2$\pi$}

Vous rencontrerez souvent\footnote{Cela doit titiller la mémoire des spécialistes} la notation $x\equiv y[2\pi]$ qui se lit <<~$x$ est  congru à $y$ modulo 2$\pi$~>>. Elle veut simplement dire que $x-y$ est un multiple de $2\pi$, c'est à dire qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $x-y=k\times 2\pi$. Retenons

\enc{$x\equiv y[2\pi]\ssi \text{ il existe } k\in\bbz \text{ tel que } x=y+2k\pi$}


Par exemple, vous savez que $\fr{\pi}{3}\equiv \fr{4\pi}{3}[2\pi]$. 

\SUBSUBSECTION{Mesure d'un angle de vecteurs}

Nous n'avons pas les moyens de définir <<~proprement~>> les angles de vecteurs. Nous n'en avons qu'une définition intuitive. Ce qui nous intéresse, c'est que $\theta$ est UNE mesure en radians de l'angle de vecteurs $\pa{\ve{e_1},\ve{OM}}$. UNE mesure, car elle est définie modulo 2$\pi$. Et bien cette mesure sera UN argument du complexe $z$, qu'on notera $\arg z$.
On retiendra

\enc{$\arg z\equiv \theta[2\pi]$}

Par exemple, $\arg 32\equiv 0[2\pi]$, $\arg 32 i\equiv \fr{\pi}{2}[2\pi]$.

\SUBSUBSECTION{Des formes trigonométriques de référence}

\bel

\item $1=\cos 0+i\sin 0$  donc $|1|=1$ et $\arg(1)\equiv 0[2\pi]$
\item $i=\cos\pa{\fr{\pi}{2}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{2}}$  donc $|i|=1$ et $\arg(i)\equiv\pa{\fr{\pi}{2}}[2\pi]$
\item $|1+i|=\sqrt{2}$ et $1+i=\sqrt{2}\pa{\fr{\sqrt{2}}{2}+i\fr{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{4}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{4}}}$ 
donc $\arg(1+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{4}}[2\pi]$
\item $|\sqrt{3}+i|=2$ et $\sqrt{3}+i=2\pa{\fr{\sqrt{3}}{2}+\ud i}=2\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{6}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{6}}}$ 
donc $\arg(\sqrt{3}+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{6}}[2\pi]$
\el



\SUBSECTION{Correspondance forme algébrique / forme trigonométrique}


Soit $z$ le complexe de forme algébrique $a+ib$ et de forme trigonométrique $r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$ alors on a d'une part

\enc{$a=r\cos\theta\qquad b=r\sin\theta$}

et d'autre part 

\enc{$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$}



Si $z$ est  \textit{non nul}, son module  $r=\sqrt{a^2+b^2}$ sera non nul également. Ainsi, nous pouvons écrire $z$ sous la forme 

\begin{center}
\begin{arrayl}
z&=& \sqrt{a^2+b^2}\pa{\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\I\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\
   &=& r\pa{\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\I\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\
    &=& r\pa{\cos(\theta)+\I\sin(\theta)}
\end{arrayl}
\end{center}

Nous en déduisons que 

\enc{$\cos(\theta)=\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad \sin(\theta)=\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$}


Ainsi, connaissant $a$ et $b$, on peut obtenir le module et un argument de $a+\I b$. On obtiendra une mesure exacte de $\theta$ si $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$ sont des valeurs connues comme $\ofr{1}{2}$, $\ofr{\sqrt{3}}{2}$, 1, etc.

Sinon, on obtiendra une valeur approchée à l'aide des touches \tiarccos et \tiarcsin, ou encore avec \tiarctan. En effet, $\cos(\theta)$ étant non nul\footnote{Sinon, on sait qui est $\theta$...}, 

\enc{$\tan(\theta)=\fr{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\fr{\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}{\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\fr{b}{a}$}

ce qui déterminera une valeur de l'argument modulo $\pi$. 



\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.6}\caption{La tangente est déterminée à $\pi$ près}
\end{center}







Il suffira ensuite de considérer le signe de $\cos(\theta)$ ou de $\sin(\theta)$ pour savoir à qui on a affaire.
















\SUBSECTION{Opérations sur les formes trigonométriques}

Soit $z=r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$ et $z'=r'\pa{\cos\theta'+i\sin\theta'}$,  alors 
$$zz'=rr'\cro{\pa{\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta'}+i\pa{\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta'}}$$
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition, vous en déduisez que 
$$zz'=z=rr'\pa{\cos\pa{\theta+\theta'}+i\sin\pa{\theta+\theta}'}$$

Ainsi, nous arrivons au résultat capital 

\enc{$\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$}



Cela va VOUS permettre de démontrer les propriétés suivantes avec un peu d'astuce et de patience

\ENC{\Prop\ \ Propriétés algébriques des arguments}{\bel
\item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$
\item $\arg(z^n)=n\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg\pa{\fr{1}{z}}=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg\pa{\fr{z}{z'}}=\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$
\item $\arg(\overline{z})=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg(-z)=\pi+\arg(z)\,[2\pi]$
\el}


En particulier, la formule concernant $z^n$ nous permet d'écrire

\ENC{\Thm\ \ Formule de Moivre}{$$\pa{\cos \theta+j\sin\theta}^n=\cos(n\theta)+j\sin(n\theta)$$}



Nous nous rendons ainsi compte que 

\enc{Les formes trigonométriques sont adaptés aux produits de complexes}
\enc{Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes}

Mais revenons à nos premières amours : calculer en géométrie...





\SECTION{LES OBJETS G\'EOM\'ETRIQUES ET LES COMPLEXES}

\SUBSECTION{De l'objet au complexe}

\SUBSUBSECTION{Comment caractériser un cercle ?}

Le cercle de centre $A$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points situés à la distance $R$ de $A$. Il est facile de traduire simplement  cela en langage complexe...

\enc{$M(z)\in\CR(A,R)\ssi \ab{z-z_A}=R$}


\SUBSUBSECTION{Comment caractériser un triangle isocèle ?}

C'est encore une histoire de distance, donc de module :  $ABC$ est isocèle de sommet principal $A$ si et seulement si $AB=AC$ donc 

\enc{$ABC$ isocèle de sommet principal $A$ $\ssi \ab{z_B-z_A}=\ab{z_C-z_A}\ssi \ab{\fr{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=1$}


\SUBSUBSECTION{Comment caractériser un triangle rectangle ?}

On peut encore parler distance grâce au théorème de Pythagore 
\enc{$|z_C-z_B|^2=|z_B-z_A|^2+|z_C-z_A|^2$}

ou angle droit : mais c'est l'angle géométrique qui nous intéresse, donc nous travaillerons modulo $\pi$
$$\pa{\ve{AB},\ve{AC}}=\pa{\ve{AB},\ve{e_1}}+\pa{\ve{e_1},\ve{AC}}=-\pa{\ve{e_1},\ve{AB}}+\pa{\ve{e_1},\ve{AC}}=-\arg\pa{z_{\ve{AB}}}+\arg\pa{z_{\ve{AC}}}=\arg\pa{\fr{z_{\ve{AC}}}{z_{\ve{AB}}}}=\arg\pa{\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}}$$

\enc{$\pa{\ve{AB},\ve{AC}}\equiv\fr{\pi}{2}\,[\pi]\ssi \arg\pa{\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}}\equiv\fr{\pi}{2}\,[2\pi]$}



\SUBSUBSECTION{Comment caractériser les différents quadrilatères ?}


Petite révision de collège...

\des{limfonc.38}{8}

qu'il vous suffira d'adapter connaissant ce qui précède.

%\SUBSUBSECTION{Comment caractériser une droite ?}





%\SUBSUBSECTION{Comment caractériser certaines applications du plan ?}




\SUBSECTION{Du complexe à l'objet}




\SUBSUBSECTION{Que représente $z-32+5i$ ?}

 Soit $A$ le point d'affixe $32-5i$ et $M$ le point d'affixe $z$, alors
 $z-32+5i=z_M-z_A=z_{\ve{AM}}$



\SUBSUBSECTION{Comment interpréter $|z-32+5i|=3$ ?}

D'après ce qui précède, on aboutit à $AM=3$ : il s'agit donc du cercle de centre $A$ et de rayon 3.

\SUBSUBSECTION{Comment interpréter $|32+iz|=5$ ?}

 $|32+iz|=|i(-32i+z)|=|i|\times|z-32i|=|z-32i|=BM$ avec $M$ le
 point d'affixe $z$ et $B$ le point d'affixe $32i$. On retombe donc sur un cercle.


\SUBSUBSECTION{Comment interpréter $|z-a|=|z-b|$ ?}

Soit $M$ d'affixe $z$, $A$ d'affixe $a$ et $B$ d'affixe $b$. Alors
l'égalité se traduit par $AM=BM$, donc $M$ est équidistant de $A$
et $B$, donc $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$.

\SUBSUBSECTION{Que se cache-t-il derrière le quotient $\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ ?}

Il suffit de remarquer que $\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\fr{z_{\ve{AC}}}{z_{\ve{AB}}}$. Donc vous utiliserez le fait que \bel
\item $\arg(\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A})=(\ve{e_1},\ve{AC})-(\ve{e_1},\ve{AB})=(\ve{AB},\ve{AC})$
\item $\left|\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\fr{AC}{AB}$
\el



Dans d'autres cas, vous serez  confrontés à l'interprétation d'une égalité du style $\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\la$ qui se traduit par
$z_{\ve{AC}}=\la z_{\ve{AB}}$, donc \bel 
\item si $\la\in\bbr$, alors $\ve{AC}=\la\ve{AB}$ et donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\item si $\la\in i\bbr$, $z_{\ve{AC}}=\pm|\la|iz_{\ve{AB}}$ et donc $\arg\pa{z_{\ve{AC}}}\equiv\pm\fr{\pi}{2}+\arg\pa{z_{\ve{AC}}}\,[2\pi]$ c'est à dire $(AC)\bot(AB)$ 
\item si $\la=\pm i$, alors le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$ 
%\item si $\la=e^{\pm i\pi/3}$, alors le triangle ABC est équilatéral

\el



\SUBSUBSECTION{Comment interpréter $\pa{MA,MB }\equiv\fr{\pi}{2}[\pi]$ ? }
%$\pa{\ve{MA},\ve{MB}} $}%\

On  déduit de cette relation que le triangle
$AMB$ est rectangle en $M$, donc que $M$ décrit le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$.


\SUBSECTION{En attendant la deuxième partie du cours...}


\sm Soit $z=3+2i$, alors $-1\times z=-3-2i$ et $i\times
z=3i+2i^2=-2+3i$. Notons $M$, $M'$ et $M''$ les points
d'\textbf{affixes} respectives $z$, $-z$ et $iz$

\des{limfonc.39}{5}

Ô monde merveilleux~! Une multiplication par $i$ se traduit par un
quart de tour, une multiplication par $-1$ se traduit par un
demi-tour, deux multiplications successives par $i$, c'est à dire
une multiplication par $i^2=-1$ se traduit bien par deux quarts de
tour, $i.e.$ un demi tour. Mais ceci est une autre histoire...



\SECTION{COMPLEXES ET \'ELECTRONIQUE}


\SUBSECTION{Somme de deux grandeurs sinusoïdales}

On considère la situation suivante :

\begin{center}
\includegraphics{LoiMaille.1}\caption{Loi des mailles}
\end{center}

Le courant initial $i$ et les trois courants résultants $i_1$ et $i_2$ ont la même pulsation $\o$.

Si $i_k=\widehat{I_k}\sin(\o t+\f)$, alors, en notant $I_k$ la valeur efficace\footnote{Nous apprendrons à la calculer quand nous aurons étudié le calcul intégral} de $i_k$  on a \[\underline{I_k}=\cro{I_k,\f}=I_k\pa{\cos \f+{\rm j}\sin\f}\]

avec $\widehat{I_k}=\sqrt{2}I_k$

La \textit{loi des mailles} nous dit que, à chaque instant $t$,  $i(t)=i_1(t)+i_2(t)$.

Il est temps à présent de se souvenir d'une petite formule de trigo :

\[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\]

Vous pouvez alors montrer que, d'une part
\[i_1(t)+i_2(t)=\pa{\sqrt{2}\,I_1\cos\f_1+\sqrt{2}\,I_2\cos\f_2}\sin(\o t)+\pa{\sqrt{2}\,I_1\sin\f_1+\sqrt{2}\,I_2\sin\f_2}\cos(\o t)\]

et d'autre part

\[i(t)=\pa{\sqrt{2}I\,\cos\f}\sin(\o t)+\pa{\sqrt{2}\,I\sin\f}\cos(\o t)\]

puisque la relation $i(t)=i_1(t)+i_2(t)$ est vraie à chaque instant, elle est donc vraie en particulier au temps $t=0$, d'où

\[ \sqrt{2}\,I\sin\f= \sqrt{2}\,I_1\sin\f_1+\sqrt{2}\,I_2\sin\f_2 \]

(pourquoi ?) et en $t=\ofr{\pi}{2\o}$ on obtient


\[ \sqrt{2}\,I\cos\f= \sqrt{2}\,I_1\cos\f_1+\sqrt{2}\,I_2\cos\f_2 \]



Vous pouvez alors expliquer pourquoi 




\enc{$\underline{I_{\textcolor{0.8white}{0}}}=\underline{I_1}+\underline{I_2}$ }

dans le cas de signaux de même pulsation. Cela va nous rendre de grands services, car il va être beaucoup plus simple d'additionner des complexes plutôt que des grandeurs sinusoïdales.

\Remarque[Exemple]{
Considérons $i_1=2\sqrt{2}\sin\pa{\o t+\ofr{\pi}{4}}$ et $i_1=3\sqrt{2}\sin\pa{\o t-\ofr{\pi}{6}}$

Alors vous obtenez  d'une part
\[\underline{I_1}=2\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{4}}+{\rm j}\sin\pa{\fr{\pi}{4}}}=\sqrt{2}\pa{1+{\rm j}}\]

et d'autre part

\[\underline{I_2}=3\pa{\cos\pa{-\fr{\pi}{6}}+{\rm j}\sin\pa{-\fr{\pi}{6}}}=\fr{3}{2}\pa{\sqrt{3}-{\rm j}}\]


Nous en déduisons que 

\[\underline{I_{\textcolor{white}{0}}}=\underline{I_1}+\underline{I_2}=\pa{\sqrt{2}+\fr{3\sqrt{3}}{2}}+{\rm j}\pa{\sqrt{2}-\fr{3}{2}}\]

On ne reconnais pas de lignes trigonométriques connues. Nous allons donc utiliser des valeurs approchées.


\[\underline{I_{\textcolor{white}{0}}}\simeq 4,012289774-0,08578643763{\rm j}\]

Nous en déduisons que l'intensité efficace vaut environ 4,01 Ampères et une mesure de son argument -0,021 radians, et donc 

\enc{$i(t)\simeq 4,01\sqrt{2}\sin(\o t-0,021)$}

}




\SUBSECTION{Impédance complexe}

Vous vous souvenez que l'impédance complexe $\underline{Z}$ est définie par 

\enc{$\underline{Z}=\fr{\underline{U}}{\underline{I}}=R+{\rm j}X$}

avec R la resistance et X la réactance du dipôle..




\SUBSUBSECTION{Cas d'une bobine parfaite}


On considère la situation suivante :

\begin{center}
\includegraphics{Bobine.1}\caption{Bobine parfaite}
\end{center}




Par définition de l'intensité $i(t)$, on a $u(t)=L\fr{\d i(t)}{\d t}$. Or $i(t)=I\sqrt{2}\sin\pa{\o t+\f}$, donc 

\begin{center}
\begin{arrayl} 
u(t)&=&L\fr{\d \Big(I\sqrt{2}\sin\pa{\o t+\f}\Big)}{\d t}\\
     &=&LI\sqrt{2}\o\cos\pa{\o t+\f}\\
     &=&L\o I\sqrt{2}\sin\pa{\o t+\f  +\ofr{\pi}{2}}\quad \text{car} \quad \sin\pa{x+\ofr{\pi}{2}}=\cos(x)\\
\end{arrayl}
\end{center}


Donc $\underline{U}=\cro{IL\o,\f+\ofr{\pi}{2}}$ et 


Nous en déduisons que, d'une part

\begin{center}
\begin{arrayl}
\Arg\pa{\underline{Z}}&=&\Arg\pa{\underline{U}}-\Arg\pa{\underline{I}}\\
                                         &=& \f+\ofr{\pi}{2}-\f\\
                                          &=&\fr{\pi}{2}
\end{arrayl}
\end{center}


d'autre part

\begin{center}
\begin{arrayl}
\ab{\underline{Z}}&=&\ofr{\ab{\underline{U}}}{\ab{\underline{I}}}\\
                                         &=& \ofr{IL\o}{I}\\
                                          &=&L\o
\end{arrayl}
\end{center}


Finalement, on obtient que \enc{$\underline{Z}=\cro{L\o,\fr{\pi}{2}}={\rm j}L\o$}

car je vous rappelle que $\cro{1,\fr{\pi}{2}}=\cos\pa{\ofr{\pi}{2}}+{\rm j}\sin\pa{\ofr{\pi}{2}}={\rm j}$


\sm

Montrez de même que l'impédance complexe d'un condensateur parfait de capacité C vaut $\ofr{1}{jc\o}$ sachant que par définition $i(t)=C\fr{\d u(t)}{\d t}$







\exot{Filtre et inversion complexe}


\paragraph{ Inversion complexe}

\label{inversion} On considère l'application $f$ du plan complexe dans $\bbc$ qui à tout point $M$ d'affixe non nulle $z$ associe le
point $M'$ d'affixe $1/z$. On pose $z=x+iy$ la forme algébrique de $z$ et $x'+iy'$ celle de l'affixe $z'$ de $M'$.

\been

\item Exprimez $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
\item Quelle est l'image de $M'$ par $f$~? Déduisez-en l'expression de $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
\item Soit $D$ une droite d'équation $x=k$ avec $k\in\bbr$. Déterminez une équation de l'image de $D$ par $f$. Déduisez-en la nature de
cette image.
\item Cas particulier : déterminez l'image de la droite $\Delta$ d'équation $x=32$.

\een

\paragraph{ Un peu d'électronique : étude d'un filtre}


On bidouille un filtre en mettant deux résistances $R$ et deux condensateurs de capacité $C$ de manière rusée. Quand on applique à
l'entrée une certaine tension de pulsation $\omega$, on recueille à la sortie un nouveau signal <<~filtré~>> mais de même pulsation. Ce
filtre est caractérisé par la fonction de transfert $T$ définie par $$T(\omega)=\fr{1}{1+\fr{Z_1(\omega)}{Z_2(\omega)}}\quad
\text{avec}\quad Z_1\omega)=R+\fr{1}{jC\omega}\quad\text{et}\quad Z_2(\omega)=\fr{1}{\fr{1}{R}+jC\omega}$$ 

\begin{center}
\includegraphics[height=7cm]{filtre.1}\caption{Filtre}
\end{center}

Justifiez les valeurs trouvées de $Z_1$ et $Z_2$

Les constantes $R$ et $C$ sont
bien sûr strictement positives. En électronique, on note ${\rm j}$ le nombre vérifiant ${\rm j}^2=-1$ pour ne pas faire de confusion avec l'intensité
$i$.

\been

\item Montrez que $T(\omega)=\fr{1}{3+j\pa{RC\omega-\fr{1}{RC\omega}}}$
\item\been
\item On considère la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $$h(\omega)=RC\omega-\fr{1}{RC\omega}$$
Dressez le tableau de variation de $h$ sur $]0,+\infty[$. %en précisant les limites.
\item On considère le point $m$ d'affixe
$3+jh(\omega)$. Quel est l'ensemble $(D)$ décrit par le point $m$ lorsque $\omega$ parcourt $]0,+\infty[$~?
\item Quelle transformation associe au point $m$ le point $M$ d'affixe $Z=T(\omega)$~?
\item Déduisez-en l'ensemble $(E)$ décrit par le point $M$ quand $\omega$ parcourt $]0,+\infty[$.
\item Tracez sur un même graphique les ensembles $(D)$ et $(E)$. Vous prendrez pour unité 6cm.

Vous représenterez également le point $m_0$ d'affixe $3+{\rm j}$ et son image $M_0$ par la transformation envisagée. \een\een


































\vfill

.

\break

\SECTION{Formulaire de Trigonométrie}


\large
 \bel
 \item \textbf{Formules}

 $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$

$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$

$\tan (a+b)=\fr{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$, pour $a+b\neq
\fr{\pi}{2}+k\pi$, $k\in \bbz$

$\tan (a-b)=\fr{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$, pour $a-b\neq
\fr{\pi}{2}+k\pi$, $k'\in \bbz$

\sm

\item \textbf{Transformation de produits en somme}

$\cos a\cdot\cos b=\fr{1}{2}\cdot(\cos(a+b)+\cos(a-b))$

$\sin a\cdot\sin b=\fr{1}{2}\cdot(\cos(a-b)-\cos(a+b))$

$\sin a\cdot\cos b=\fr{1}{2}\cdot(\sin(a+b)+\sin(a-b))$

\sm

\item \textbf{Transformation de sommes en produits}

$\cos p+\cos q=2\cdot \cos (\fr{p+q}{2})\cdot \cos
(\fr{p-q}{2})$

$\cos p-\cos q=-2\cdot \sin (\fr{p+q}{2})\cdot \sin
(\fr{p-q}{2})$


$\sin p+\sin q=2\cdot \sin (\fr{p+q}{2})\cdot \cos
(\fr{p-q}{2})$

$\sin p-\sin q=2\cdot \sin (\fr{p-q}{2})\cdot \cos
(\fr{p+q}{2})$

\sm

\item \textbf{Formules de duplication}

$\cos (2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x$

$\sin (2x)=2\cos x\sin x $

$\tan (2x)=\fr{2\tan x}{1-\tan ^{2}x}$,
$x\neq\fr{\pi}{4}+k\fr{\pi}{2}$ pour $k\in \bbz$

Avec $t=\tan (\fr{x}{2})$, on a :

$\sin x=\fr{2t}{1+t^{2}}$ , $\cos x=\fr{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ,
$\tan x=\fr{2t}{1-t^{2}}$

\el


\vfill

.

\newpage



\begin{center}
\includegraphics[height=10cm]{cercleTrigo.1}\caption{}
\end{center}


\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.2}\caption{}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.3}\caption{}\end{flushright}\end{minipage}


\bigskip\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.4}\caption{}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.5}\caption{}\end{flushright}\end{minipage}






\end{document}