\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{ifxetex}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[mathletters]{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{geometry}
\usepackage[enonce]{examndr}
%\usepackage[correction]{exam}

\usepackage{epsf,amsmath,amssymb,graphicx,realboxes}
\newcommand\scr{}
\usepackage[boldsans]{ccfonts}
\usepackage[mathcal,mathbf]{euler}
%\usepackage{preambuleTrm}


\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{automata,fit,trees,matrix,arrows,decorations.pathmorphing,shapes.arrows,chains,positioning,intersections,backgrounds,calc,through,mindmap}

\usepackage{tkz-graph,tikz-uml}
\input{patch-tkz-graph}
\usepackage{tikz-qtree}
%\usepackage{circuitikz}
%\usepackage{Karnaugh}
%\usepackage[autolanguage]{numprint}

\newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{#1}}

\usepackage{algo}

\renewcommand{\algocommentfont}{\small\ttfamily\itshape}
\newcommand{\DecalV}[2][2pt]{%
	\raisebox{#1}{%
		$\left(\raisebox{-#1}{\ensuremath{#2}}\right)$}}
            \newcommand{\oij}[1][O]{\DecalV[.8pt]{#1;\ve{\imath},\ve{\jmath}\,}\xspace}

            
\usepackage{minted}
\newminted{python}{linenos,breaklines,breakindent=1cm,frame=lines,framesep=2mm,fontsize=\small,fontfamily=txtt}


\newcommand\nor{\downarrow}
\newcommand\nand{\uparrow}


\graphicspath{{/home/moi/IUT/Figures/}{/home/moi/VISA_III/figures_visa/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2006_7/}{/home/moi/Figures/Arbres_Graphes/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Lycee/Informatique/XCAS/2008_9/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2008_9/}{/home/moi/IUT/Thierry/Conversions/}{/home/moi/Photos/informathix/}{/home/moi/Lycee/Informatique/PafAlgo/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Biocam/robot/}{/home/moi/Biocam/CoursIni3d/}{/home/moi/Biocam/central/figures/}{/home/moi/Biocam/central/}{/home/moi/IUT/INFO2/Images/}{/home/moi/IUT/INFO2/2011_12/graphes/}{/home/moi/IUT/INFO1/CM1/}{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Lycee/TS/}{/home/moi/Lycee/TS/2009_10/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Figures/figuresTS/newcourbes/}{/home/moi/Figures/FigEspace/}{/home/moi/PROG/HASKELL/FLOAT/}} 


\newcommand{\Fonc}[5]{#1~\colon~\begin{array}{rll} #2 &\to &#3\\ #4& \mapsto &#5 \end{array}} % fonction d'une autre variable
\newcommand{\illt}[4]{\begin{minipage}[t]{#3\linewidth}\vspace{0cm}#1\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{#4\linewidth}\vspace{-0.25cm}
\hspace{5.5cm} \begin{flushright}\includegraphics[width=\linewidth]{#2}\end{flushright}\end{minipage}}

\newcommand{\ch}{\operatorname{ch}}
\newcommand{\sh}{\operatorname{sh}}
\newcommand{\E}{{\operatorname e}}
\newcommand{\TR}{\mathscr{T}}
\newcommand{\CR}{{\Large \mathscr{{C}}}}


% \usepackage{listing}

% \lstset{
%  language=python,
%         escapeinside={(*@}{@*)},
%         %numbers=left,
%         basicstyle={\bfseries\ttfamily\color{black!60!blue}},
%         commentstyle={\small\itshape\color{pink!60!black}},
%         keywordstyle={\ttfamily\bfseries\fontfamily{ul9}\selectfont\color{black!30!blue}},
%         stringstyle={\small\ttfamily\color{gray!50!black}\itshape},
%         breaklines=true,
%         breakatwhitespace=true,
%         showtabs=False,
%         showspaces=False,
%         showstringspaces=False,
%         extendedchars=true,
%         %aboveskip=1em,
%         %belowskip=1em,
%         rulecolor=\color{gray},
%         %rulesepcolor=\color{gray},
%         %frame=trBL,
%         frame=single,
%         frameround=tttt,
%         framerule=0.3pt,
%         framesep=4pt,
%        % belowcaptionskip=2.1pt,
% %title={{\setlength{\fboxsep}{1pt}\fcolorbox{gray}{gray!10}{\sffamily\scriptsize
%  %     \textcolor{gray!10}{\_}Haskell \textcolor{gray!10}{\_}}}}
% }

% %%% Fraction en oblique
\newcommand{\ofr}[2]{%
	\raisebox{0ex}{$#1$}\negthinspace\slash
	\raisebox{-.5ex}{$#2$}}


\newcommand{\RR}{\mathcal{R}}

\newcommand{\I}{{\rm \textbf{i}}\,}

%transposee
\usepackage{fouridx}
\newcommand*{\transp}[1]{\fourIdx{{\rm t}}{}{}{}{#1}}
\newcommand\tr{\vphantom{}^{\rm t}}

\newcommand{\dd}{\text{ d}}


\paper{DS-M12} % <- do not include FC, FT etc
%\version{0}                     % <- for multiple choice exams
\title{Devoir Surveillé - Mathématiques}
\time{cent dix-huit minutes} % <- number of hours: default is three
\semester{Terminale S3}
\annee{15 Octobre 2018} % <- default is the current year

% %\campus{City}
%\note{\small \bfseries Vous justifierez vos réponses
%  avec le plus grand soin. 
 % MAY THE FORCE BE WITH YOU!}


\begin{document}

{\small

\begin{exercice}[]
  Prérequis: on suppose connue la définition d'une suite tendant vers $+\infty$.
  Démontrer le théorème suivant:

  \begin{quote}
    {\itshape
  Soit $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ deux suites définies sur $\bbn$ vérifiant:

  \begin{itemize}
  \item $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
  \item Il existe un entier $N_0$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N_0$ on
    a $v_n \geqslant u_n$
   
  \end{itemize}

  alors $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=+\infty$

      }
  \end{quote}
\end{exercice}




\begin{exercice}[]
  Étudier la limite  des suites de terme général $u_n=4  + \dfrac{3\sin(n)}{n^2}$
  et $w_n=\dfrac{2n^2-n+1}{3n^2+2}$
\end{exercice}





\begin{exercice}[]
  Résoudre dans  $\bbc$ les  équations suivantes d'inconnue  $z$. On  écrira $z$
  sous forme algébrique.
  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $(2+4\I)z + 5=(5+\I)z+3\I$
  \item $\dfrac{2}{\overline{z}}=\dfrac{1}{2-\I}+\dfrac{1}{1+2\I}$
    
  \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}



\begin{exercice}[]
    
On considère le polynôme $P$ défini sur $\bbc$ par 
$P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.$
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation 
$P(z) = 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$. 
		\item En déduire les solutions dans $\bbc$ de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
  
\end{exercice}



\begin{exercice}[]
  
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe $z’ = - z^2 + 2z$

Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\bbc$ des nombres complexes l'équation :
$- z^2 + 2z - 2 = 0.$

En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2. 
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. 
  On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$.
  
Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
\end{enumerate}
\end{exercice}







\begin{exercice}[]
 
  Soit  $g$  la fonction  définie  sur  $\bbr$  par $g(x)=x^3\E^{-x}$.  On  note
  $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
 \begin{multicols}{2}  
  \begin{enumerate}
\item Déterminez le sens de variation de la fonction $g$.
\item Déterminez une équation de la tangente à $\Gamma$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}


\begin{exercice}[]


Le 1\up{er} septembre 2018, le lycée Cantor compte 2971 élèves (qui est bien sûr
un  nombre premier).  Une  étude statistique  menée par  les  élèves de  l'école
primaire voisine a montré que
chaque 1\up{er} septembre:
\begin{itemize}
\item 10\% de l'effectif quitte l'établissement à cause des maths;
  \item 250 nouveaux élèves s'inscrivent à cause des maths.
  \end{itemize}

  La direction veut savoir si elle doit  se débarrasser des profs de maths. Pour
  cela elle cherche  à modéliser cette situation par une  suite $(u_n)$ où, pour
  tout  entier naturel  $n$, $u_n$  représente  le nombre  d'élèves le  1\up{er}
  septembre de l'année $2018+n$.

  \begin{enumerate}
  \item Justifiez clairement que l'on peut  modéliser la situation avec la suite
    $(u_n)$   telle  que   $u_0=2971$  et,   pour  tout   entier  naturel   $n$,
    $u_{n+1}=0,9u_n+250$.
    \item Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_n=u_n-2500$.
      \begin{enumerate}
      \item Démontrez élégamment que la suite $(w_n)$ est géométrique.
      \item Exprimez  alors $w_n$ en fonction  de $n$ puis $u_n$  en fonction de
        $n$.
      \end{enumerate}
    \item Démontrez que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=-47,1\times
      0,9^n$. Déduisez-en le sens de variation de la suite $(u_n)$.
    \item La suite $(u_n)$ est-elle convergente?
    \item La capacité  optimale d'accueil pour que chacun  puisse s'asseoir dans
      les  salles  est  de  2801  élèves.   Ainsi  en  2018,  lelycée  était  en
      sureffectif.
      Déterminez à  l'aide de votre  calculatrice à  partir de quelle  année, le
      contexte restant le même, le lycée ne sera plus en sureffectif.


      \item  On  souhaite   écrire  un  algorithme  qui   détermine  ce  dernier
        résultat. Voici  trois algorithmes proposés  par des élèves.  Parmi eux,
        y en a-t-il  un qui convienne pour répondre au  problème posé? Justifiez
        votre choix et 
        expliquez pourquoi vous écartez certains algorithmes.

 {
 \begin{multicols}{2}
\begin{algo}
          \ALGO{1}
          \VAR
          \DECLVAR{x}{entier}
          \DECLVAR{y}{flottant}
          \BEGIN
            \STATE{x \recoit{} 0}
            \STATE{y \recoit{} 2971}
            \WHILE{x > 2971}
               \STATE{x \recoit{} $0.9\times \mathrm{x }+ 250$}
               \STATE{y \recoit{} y + 1}
            \ENDWHILE
            \STATE{Afficher(2018 + x)}
          \END
        \end{algo}


        
 \begin{algo}
          \ALGO{2}
          \VAR
          \DECLVAR{x}{entier}
          \DECLVAR{y}{flottant}
          \BEGIN
            \STATE{x \recoit{} 0}
            \STATE{y \recoit{} 2971}
            \WHILE{x > 2971}
               \STATE{x \recoit{} $0.9\times\mathrm{ x} + 250$}
               \STATE{y \recoit{} y + 1}
            \ENDWHILE
            \STATE{Afficher(2018 + y)}
          \END
        \end{algo}

        
 \begin{algo}
          \ALGO{3}
          \VAR
          \DECLVAR{x}{entier}
          \DECLVAR{y}{flottant}
          \BEGIN
            \STATE{x \recoit{} 0}
            \STATE{y \recoit{} 2971}
            \WHILE{x > 2971}
               \STATE{x \recoit{} $-50\times 0,9^{\mathrm{x}}$}
               \STATE{y \recoit{} $\mathrm{y} + 1$}
            \ENDWHILE
            \STATE{Afficher(2018 + y)}
          \END
        \end{algo}

       

         \begin{algo}
          \ALGO{4}
          \VAR
          \DECLVAR{x}{entier}
          \DECLVAR{y}{flottant}
          \BEGIN
            \STATE{x \recoit{} 0}
            \STATE{y \recoit{} 2971}
            \WHILE{x > 2971}
               \STATE{x \recoit{} $-50\times 0,9^{\mathrm{x}}$}
               \ENDWHILE
               \STATE{y \recoit{} y + 1}
            \STATE{Afficher(2018 + y)}
          \END
        \end{algo}

}
        
  \end{multicols}
\end{enumerate}

\end{exercice}

}

\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
